6)Формула полной вероятности. Теорема Байеса

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Если событие А может произойти только при условии появления одного их событий (гипотез) B1,B2… Bn, образующих полную группу, то вероятность события А равна сумме произведений вроятностей каждой из гипотез на соответствующие условные вероятности А.

где Р(А)-полная вероятность события А

Р(Вi)-вероятность гипотезы Bi,при которой может произойти событие А(i=1,2.n)

Р(А|Bi)-вероятность события А,вычесленная при условии наступления гипотезы

Hi (i=1,2…n).

Доказательство:

По условию события (гипотезы) В1,В2,...Bn образуют полную группу событий, следовательно, они единственно возможные и несовместные.

Так как гипотезы В1,В2,...Bn — единственно возможные, а событие А по условию может произойти только вместе с одной из гипотез, то

А = АВ1 + АВ2 + ... + АВn.

В силу того, что гипотезы В1,В2,...Bn несовместны, можно применить теорему сложения вероятностей:

Р(А) = Р(АВ1)+Р(АВ2)+... + Р(АВn) = ∑ P(ABi)

/=1

И по теореме умножения вероятностей получаем:

Теорема Байеса— одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая позволяет определить вероятность того,что произошло какое-либо событие(гипотеза)при наличии лишь косвенных тому подтверждений(данных), которые могут быть неточны.

,

где

P(A)—априорная вероятность гипотезы A(смысл такой терминологии см.ниже);

P(A | B) — вероятность гипотезы A при наступлении события B (апостериорная вероятность);

P(B | A) — вероятность наступления события B при истинности гипотезы A;

P(B) — вероятность наступления события B.

Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы.

Такой подход, называемый байесовским, дает воз­можность корректировать управленческие решения, например, в экономике, а также оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.