18)Функция и плотность распределения двумерной случайной величины. Их свойства.

Функцией распределения n - мерной случайной величины (Х1, Х2, ..., Хn) называется функция F (x1, x2, ..., xn), выражающая вероятность совместного выполнения n неравенств *:

X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn,

т. е. F (x1, x2, ..., xn) = P(X1 < x1, X2 < x2, ..., Xn < xn).

В двумерном случае для случайной величины (X, У) функция распределения F (x, y) определяется равенством:

F (x, y)=P(X < x,Y < y).

Функцию F (x1, x2, ..., xn) называют также совместной функцией распределения случайных величин Х1, Х2, ..., Хn

Геометрически функция распределения F (x,y) означает вероятность попадания случайной точки (X,Y) в заштрихованную область — бесконечный квадрант, лежа-щий левее и ниже точки М(х,у).

Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются — это означает, что функция распределения непрерывна слева по каждому из аргументов.

В случае дискретной двумерной случайной величины ее функция распределения определяется по формуле:

где суммирование вероятностей распространяется на все i, для которых xi < х, и все j, для которых yj < у.

Для дискретной случайной двумерной величины (X,Y) ее функция распределения представляет собой некоторую ступенчатую поверхность, ступени которой соответствуют скачкам функции F (х, у).

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1. Функция распределения F(х,у) есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей, т.е. 0 < F(x,y) < 1. Утверждение следует из того, что F (х,у) есть вероятность.

2. Функция распределения F(х,у) есть неубывающая функция по каждому из аргументов, т.е. при х2 > х1 F(х2,у) ≥ F(x1, у), при у2 > у1 F(х, у2) ≥ F(x, y1).

Так как при увеличении какого-либо аргумента заштрихованная область на рисунке увеличивается, то вероятность попадания в него случайной точки (X,Y), т.е. функция распределения F (х, у), уменьшиться не может.

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в -∞, функция распределения F(х,у) равна нулю, т.е. F(x,-∞) = F(-∞,у) = F(-∞,-∞) = 0.

Функция распределения F (х,у) в отмеченных случаях равна нулю, так как события Х < -∞, Y < -∞ и их произведение представляют невозможные события.

4. Если один из аргументов обращается в +∞, функция распределения F (х, у) становится равной функции распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу: F (x, +∞) = F1 (x) и F (+∞, y ) = F2 (y)

где F1 (x) и F2 (y) − функции распределения случайных величин X и Y, т.е. F1 (x) = P(X < x), a F2 (y) = P(Y < y).

Произведение события ( Х < х) и достоверного события ( Y < +∞) есть само событие ( X < х), следовательно, F (x, +∞) = Р ( Х < х) = F1 (x).

Аналогично можно показать, что F (+∞, y) = F2 (y).

5. Если оба аргумента равны +∞, то функция распределения равна единице: F (+∞,+∞) = 1.

F (+∞,+∞) = 1 следует из того, что совместное осуществление достоверных событий ( X < +∞), ( Y < +∞) есть событие достоверное.

Геометрически функция распределения есть некоторая поверхность, обладающая указанными свойствами.

Двумерная случайная величина (X,Y) называется непрерывной, если ее функция распределения F(x,y) − непрерывная функция, дифференцируемая по каждому из аргументов, и существует вторая смешанная производная .

Плотностью вероятности(плотностью распределения или совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины (X,У) называется вторая смешанная частная производная ее функции распределения, т.е.

Геометрически плотность вероятности двумерной случайной величины (Х,У) представляет собой поверхность распределения в пространстве Oxyz.

СВОЙСТВА ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДВУМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

1. Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция, т.е. f (x,y) ≥ 0.

2. Вероятность попадания непрерывной двумерной величины (X, Y) в область D равна:

3. Функция распределения непрерывной двумерной случайной величины может быть выражена через ее плотность вероятности f (x,y) по формуле:

4. Двойной несобственный интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности двумерной случайной величины равен единице:

Зная плотность вероятности двумерной случайной величины (X,Y), можно найти функции распределения ее одномерных составляющих Х и Y:

Дифференцируя функции распределения F1 (x) и F2 (y) соответственно по аргументам х и у, получим плотности вероятности одномерных случайных величин Х и Y

т.е. несобственный интеграл в бесконечных пределах от совместной плотности f (х,у) двумерной случайной величины по аргументу х дает плотность вероятности f2(у), а по аргументу у — плотность вероятности f1(x).