14)Неравенства Маркова и Чебышева.

Теорема (Неравенство Маркова или лемма Чебышева).

Если случ. величина X принимает только неотрицат. значения и имеет матем. ожидание,то для любого положительного числа А верно нер-во:

Так как события X > А и X ≤ А противоположные, то заменяя Р (Х > А) выражением 1 – Р (Х ≤ А), придем к другой форме неравенства Маркова:

нерав-во маркова применимо к любым неотрицательным случ. Величинам

Теорема (Неравенство Чебышева). Для любой случайной величины, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

где а = М(Х), ε > 0.

Учитывая, что события |Х − а| > ε и |Х − а| ≤ ε противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в другой форме:

Неравенство Чебышева применимо для любых случайных величин. В первом случае оно устанавливает верхнюю границу, а во втором – нижнюю границу вероятности рассматриваемого события.

ФОРМА НЕРАВ-ВА ЧЕБЫШЕВА ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН:

а) для случайной величины X = m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием а = М(Х) = nр и дисперсией D(X) = npq :

б) для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью

и имеющей дисперсию

Различие результатов объясняется тем, что нер-во Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности искомого события для любой случ. величины, а интегральная теорема Муавра−Лапласа дает достаточно точное значение самой вероятности Р(тем точнее, чем больше n),т.к. она применима лишь для случ. величины,имеющей определенный,именно−биномиальный закон распределения.

« правило 3 сигм» применимо для большинства случ.величин

Если математическое ожидание М(Х) > А или же дисперсия случайной величины D(X) > ε², то правые части неравенств Маркова и Чебышева) будут соответственно или больше 1, или отрицательными.

Это означает, что применение указанных неравенств в этих случаях приведет к очевидному результату: вероятность события меньше числа, превосходящего 1, либо больше отрицательного числа.