Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке  АМ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy,                                              (24.3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.

<< Пример 24.3

Найти приближенное значение приращения функции у=х³-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х³-2х+1)'•∆х=(3х²-2)•∆х.

Итак, ∆у 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:

∆у=((х+∆х)³-2(х+∆х)+1)-(х³-2х+1)=х³+3х²•∆х+3х•(∆х)²+(∆х)³-2х-2•∆х+1-х³+2х-1=∆х(3х²+3х•∆х+(∆х)²-2);

Абсолютная погрешность приближения равна

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим

ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х

или

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х.                            (24.4)

Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.

17. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • I. Введение в анализ.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
    • Теорема о связи функции с её пределом в точке
    • Алгебраические свойства пределов
    • Первый замечательный предел
    • Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности
    • Сравнение функций.
    • 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности
    • 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
    • Свойства Локальные
    • Глобальные
    • 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
    • Односторонний предел по Гейне
    • 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
    • 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
    • Правила дифференцирования функций
    • Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
    • Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
    • Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
    • Производные и дифференциалы высших порядков
    • Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных не­определенностей
    • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
    • Разложение основных функций по формуле Тейлора
    • Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
    • Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс­ тремума функции в точке
    • Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
    • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и дос­таточное условия точки перегиба графика функции
    • Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
    • Полное исследование функции и построение графика функции
    • III. Неопределенный интеграл.
    • Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
    • 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
    • Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
    • Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
    • Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
    • Интегрирование иррациональных функций
    • Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Не­которые частные случаи
    • 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
    • 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок
    • IV. Определенный интеграл.
    • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
    • Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
    • Для неопределённого интеграла
    • Для определённого
    • Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравне­ния
    • Несобственные интегралы I рода
    • Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
    • Примеры
    • Несобственные интегралы II рода
    • Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
    • Геометрические приложения определенного интеграла:
    • 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пла­стинку).
    • V. Функции многих переменных.
    • 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, не­прерывность
    • 2. Предел функции.
    • Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
    • Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
    • Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к прибли­женным вычислениям
    • Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных произ­водных
    • Дифференциалы высших порядков
    • Формула Тейлора для функции двух переменных
    • Различные формы остаточного члена
    • Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точ­ке
    • Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

    Yandex.RTB R-A-252273-4