Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

Пусть функция z=ƒ(х;у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области D , или в точках, лежащих на границе области.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой в области D функции z = ƒ(х;у) состоит в следующем:

1. Найти все критические точки функции, принадлежащие D , и вычислить значения функции в них;

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = ƒ(х;у) на границах области;

3. Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее т.

Пример 46.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=х²у + ху² + ху в замкнутой области, ограниченной линиями: у = ¹/_x, х = 1, х = 2, у = -1,5 (см. рис. 212).

Решение: Здесь z'_x=2ху+у²+у, z'_y=х²+2ху+х.

1. Находим все критические точки:

Решением системы являются точки (0;0), (-1;0), (0; -1),(-1/3;-1/3). Ни одна из найденных точек не принадлежит области D .

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 212). На участке АВ:   Значения функции z(-1) = -1, На участке ВС: Значения функции z(1) = 3, z(2) = 3,5. На участке СЕ: z'_y=4у+6, 4у+6=0, у=-3/2. Значения функции На участке АЕ:  Значения функции z(1) = -3/4,z(2) = -4,5.

3. Сравнивая полученные результаты, имеем: М = +3,5 = z(2;1/2) =z(С); а m=-4,5=z(2;-3/2)=z(E).