37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррациональные функции.

Интегралы типа называют неопределенными интегралами от квадратичных иррациональностей. Их можно найти следующим обpaзoм: под радикалом выделить полный квадрат

и сделать подстановку х +b/2a=t. При этом первые два интеграла приводятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

Пример 33.1. Найти интегралы

Решение: Так как,

то

Cдeлаем подстановку x+1/4=t, x=t-1/4,dx=dt. Тогда

• 33.3. Тригонометрическая подстановка

Интегралы типа приводятся к интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, с помощью следующих тригонометрических подстановок: х=а•sint для первого интеграла; х=а•tgt для второго интеграла; для третьего интеграла.