Дифференциалы высших порядков

Введем понятие дифференциала высшего порядка. Полный дифференциал функции (формула (44.5)) называют также дифференциалом первого порядка.

Пусть функция z=ƒ(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле (d²z = d(dz). Найдем его:

Отсюда:Символически это записывается так:

Аналогично можно получить формулу для дифференциала третьего порядка:

где

Методом математической индукции можно показать, что

Отметим, что полученные формулы справедливы лишь в случае, когда переменные х и у функции z = ƒ(х;у) являются независимыми.

Пример 44.4. (Для самостоятельного решения.) Найти d²z, если z=х³у².

Ответ: d²z=бху²dx²+12х²уdxdy+2х³dy².

50. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • I. Введение в анализ.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
    • Теорема о связи функции с её пределом в точке
    • Алгебраические свойства пределов
    • Первый замечательный предел
    • Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности
    • Сравнение функций.
    • 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности
    • 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
    • Свойства Локальные
    • Глобальные
    • 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
    • Односторонний предел по Гейне
    • 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
    • 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
    • Правила дифференцирования функций
    • Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
    • Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
    • Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
    • Производные и дифференциалы высших порядков
    • Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных не­определенностей
    • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
    • Разложение основных функций по формуле Тейлора
    • Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
    • Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс­ тремума функции в точке
    • Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
    • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и дос­таточное условия точки перегиба графика функции
    • Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
    • Полное исследование функции и построение графика функции
    • III. Неопределенный интеграл.
    • Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
    • 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
    • Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
    • Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
    • Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
    • Интегрирование иррациональных функций
    • Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Не­которые частные случаи
    • 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
    • 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок
    • IV. Определенный интеграл.
    • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
    • Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
    • Для неопределённого интеграла
    • Для определённого
    • Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравне­ния
    • Несобственные интегралы I рода
    • Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
    • Примеры
    • Несобственные интегралы II рода
    • Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
    • Геометрические приложения определенного интеграла:
    • 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пла­стинку).
    • V. Функции многих переменных.
    • 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, не­прерывность
    • 2. Предел функции.
    • Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
    • Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
    • Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к прибли­женным вычислениям
    • Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных произ­водных
    • Дифференциалы высших порядков
    • Формула Тейлора для функции двух переменных
    • Различные формы остаточного члена
    • Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точ­ке
    • Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

    Yandex.RTB R-A-252273-4