Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x→∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

Примеры.

1. Функция f(x)=(x-1)² является бесконечно малой при x→1, так как (см. рис.).

2. Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

3. f(x) = ln (1+x)– бесконечно малая при x→0.

4. f(x) = 1/x– бесконечно малая при x→∞.

Установим следующее важное соотношение:

Теорема. Если функция y=f(x) представима при x→aв виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x), где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Доказательство.

1. Докажем первую часть утверждения. Из равенства f(x)=b+α(x) следует |f(x) – b|=| α|. Но так как a(x) – бесконечно малая, то при произвольном ε найдется δ – окрестность точки a, при всех x из которой, значения a(x) удовлетворяют соотношению |α(x)|<ε. Тогда |f(x) – b|< ε. А это и значит, что .

2. Если , то при любом ε>0 для всех х из некоторой δ – окрестность точки a будет |f(x) – b|< ε. Но если обозначимf(x) – b= α, то |α(x)|<ε, а это значит, что a – бесконечно малая.

Функция называется бесконечно большой при x a или в точке a, если для любого положительного числа  найдется такое положительное (), что для всех x a и удовлетворяющих условию |x-a|< будет выполнено неравенство |f(x)|> .

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x. Приведем его в символической записи:

lim_xf(x) = >0 ()>0  x:|x|> |f(x)|>.

Предложение 1. (x) бесконечно малая функция при x a  1/(x) — бесконечно большая при x  a

Пример. y = x² – бесконечно малая функция при x  0 , а y = 1/x² – бесконечно большая при x  0.

3. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • I. Введение в анализ.
   • Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.
   • Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
   • Теорема о связи функции с её пределом в точке
   • Алгебраические свойства пределов
   • Первый замечательный предел
   • Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности
   • Сравнение функций.
   • 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности
   • 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
   • Свойства Локальные
   • Глобальные
   • 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
   • Односторонний предел по Гейне
   • 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
   • 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
   • Правила дифференцирования функций
   • Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
   • Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
   • Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
   • Производные и дифференциалы высших порядков
   • Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных не­определенностей
   • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
   • Разложение основных функций по формуле Тейлора
   • Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
   • Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс­ тремума функции в точке
   • Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
   • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
   • Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и дос­таточное условия точки перегиба графика функции
   • Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
   • Полное исследование функции и построение графика функции
   • III. Неопределенный интеграл.
   • Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
   • 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
   • Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
   • Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
   • Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
   • Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
   • Интегрирование иррациональных функций
   • Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Не­которые частные случаи
   • 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
   • 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок
   • IV. Определенный интеграл.
   • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
   • Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
   • Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
   • Для неопределённого интеграла
   • Для определённого
   • Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравне­ния
   • Несобственные интегралы I рода
   • Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
   • Примеры
   • Несобственные интегралы II рода
   • Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
   • Геометрические приложения определенного интеграла:
   • 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пла­стинку).
   • V. Функции многих переменных.
   • 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, не­прерывность
   • 2. Предел функции.
   • Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
   • Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной
   • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
   • Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к прибли­женным вычислениям
   • Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных произ­водных
   • Дифференциалы высших порядков
   • Формула Тейлора для функции двух переменных
   • Различные формы остаточного члена
   • Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точ­ке
   • Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

   Yandex.RTB R-A-252273-4