Исследование функций на экстремум с помощью высших производных

  Пусть в точке х = х₁ f(x₁) = 0 и f(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

  Теорема. Если f(x₁) = 0, то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f(x₁)<0 и минимум, если f(x₁)>0.

  Доказательство.

 Пусть f(x₁) = 0 и f(x₁)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f(x₁)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x₁ и f(x) < 0 при x>x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба.

  Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

 у

  На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

  Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

 Доказательство. Пусть х₀  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

  Уравнение кривой: y = f(x);

 Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀):  , x₀ < c < x.

По теореме Лагранжа для  

Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, т.к. по условию то

.

  Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

  Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

 Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

 Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

 Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

2)      Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

25. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • I. Введение в анализ.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
    • Теорема о связи функции с её пределом в точке
    • Алгебраические свойства пределов
    • Первый замечательный предел
    • Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности
    • Сравнение функций.
    • 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности
    • 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
    • Свойства Локальные
    • Глобальные
    • 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
    • Односторонний предел по Гейне
    • 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
    • 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
    • Правила дифференцирования функций
    • Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
    • Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
    • Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
    • Производные и дифференциалы высших порядков
    • Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных не­определенностей
    • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
    • Разложение основных функций по формуле Тейлора
    • Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
    • Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс­ тремума функции в точке
    • Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
    • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и дос­таточное условия точки перегиба графика функции
    • Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
    • Полное исследование функции и построение графика функции
    • III. Неопределенный интеграл.
    • Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
    • 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
    • Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
    • Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
    • Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
    • Интегрирование иррациональных функций
    • Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Не­которые частные случаи
    • 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
    • 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок
    • IV. Определенный интеграл.
    • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
    • Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
    • Для неопределённого интеграла
    • Для определённого
    • Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравне­ния
    • Несобственные интегралы I рода
    • Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
    • Примеры
    • Несобственные интегралы II рода
    • Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
    • Геометрические приложения определенного интеграла:
    • 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пла­стинку).
    • V. Функции многих переменных.
    • 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, не­прерывность
    • 2. Предел функции.
    • Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
    • Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
    • Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к прибли­женным вычислениям
    • Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных произ­водных
    • Дифференциалы высших порядков
    • Формула Тейлора для функции двух переменных
    • Различные формы остаточного члена
    • Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точ­ке
    • Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

    Yandex.RTB R-A-252273-4