Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f(x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x₀ < x₁ < x₂ < x_n = b Тогда говорят, что произведено разбиение RR отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку , i = 0, Определённым интегралом от функции f(x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм Θ_R при , если он существует независимо от разбиения R и выбора точек ξ_i, т.е. (1) Если существует (1), то функция f(x) называется интегрируемой на [a;b] – определение интеграла по Риману.

• a – нижний предел.

• b – верхний предел.

• f(x) – подынтегральная функция.

• λ_R - длина частичного отрезка.

• σ_R – интегральная сумма от функции f(x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

• λ_R - максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке ε, δ: Число I – называется определённым интегралом от f(x) на [ a ; b ], если для любого ε>0 существует δ=δ(ε)>0: для любого разбиения R отрезка [ a ; b ]: λ_R < δ, выполняется неравенство: |I- σ_R | = |∑^n-1_i=0f(ξi) Δxi - I| < ε при любом ξi є [ xi ; xi+1] Тогда I = ∫_a^bf(x)dx

Геометрический смысл

Определённый интеграл как площадь фигуры

Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x = a и x = b и графиком функции f(x).