Производные и дифференциалы высших порядков

Дифференциалом порядка n, где n > 1 от функции   в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть

  .

Дифференциал высшего порядка функции одной переменной

Для функции, зависящей от одной переменной   второй и третий дифференциалы выглядят так:

Отсюда можно вывести общий вид дифференциала n-го порядка от функции  :

При вычислении дифференциалов высших порядков очень важно, что  есть произвольное и не зависящее от  , которое при дифференцировании по   следует рассматривать как постоянный множитель.

Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных

Если функция   имеет непрерывные частные производные второго порядка, то дифференциал второго порядка определяется так: .

Символически общий вид дифференциала n-го порядка от функции  выглядит следующим образом:

где , а   произвольные приращения независимых переменных . Приращения   рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему. Сложность выражения дифференциала возрастает с увеличением числа переменных.

Неинвариантность дифференциалов высшего порядка

При   , -й дифференциал не инвариантен (в отличие от инвариантности первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, .

Для доказательства неинвариантности дифференциалов высшего порядка достаточно привести пример. При n = 2 и   :

• если   — независимая переменная, то  

• если    и  

2. при этом,    и  

С учётом зависимости , уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Также не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше.

Частные производныеназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.

Так, и т.д.

Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,

Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x⁴-2x2y³+y⁵+1.

Решение: Так както

Оказалось, что

Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.

Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В настности, для z=ƒ(х; у) имеем:

17. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • I. Введение в анализ.
    • Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Тео­рема о единственности предела.
    • Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
    • Теорема о связи функции с её пределом в точке
    • Алгебраические свойства пределов
    • Первый замечательный предел
    • Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности
    • Сравнение функций.
    • 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности
    • 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
    • Свойства Локальные
    • Глобальные
    • 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
    • Односторонний предел по Гейне
    • 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
    • 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
    • Правила дифференцирования функций
    • Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
    • Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
    • Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
    • Производные и дифференциалы высших порядков
    • Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных не­определенностей
    • Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
    • Разложение основных функций по формуле Тейлора
    • Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
    • Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс­ тремума функции в точке
    • Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
    • Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
    • Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и дос­таточное условия точки перегиба графика функции
    • Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
    • Полное исследование функции и построение графика функции
    • III. Неопределенный интеграл.
    • Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
    • 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
    • Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
    • Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
    • Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
    • Интегрирование иррациональных функций
    • Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Не­которые частные случаи
    • 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
    • 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с по­мощью тригонометрических подстановок
    • IV. Определенный интеграл.
    • Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
    • Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
    • Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
    • Для неопределённого интеграла
    • Для определённого
    • Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравне­ния
    • Несобственные интегралы I рода
    • Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
    • Примеры
    • Несобственные интегралы II рода
    • Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
    • Геометрические приложения определенного интеграла:
    • 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пла­стинку).
    • V. Функции многих переменных.
    • 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, не­прерывность
    • 2. Предел функции.
    • Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
    • Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной
    • Касательная плоскость и нормаль к поверхности
    • Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к прибли­женным вычислениям
    • Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных произ­водных
    • Дифференциалы высших порядков
    • Формула Тейлора для функции двух переменных
    • Различные формы остаточного члена
    • Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точ­ке
    • Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значе­ний функции в замкнутой области

    Yandex.RTB R-A-252273-4