Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последова­тельности

Постоянное число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует номер N, что все значения x_n, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

                                                                               |x_n - a| < .                                                                              (6.1)

Записывают это следующим образом:  или x_n→ a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

                                                                           a-  < x_n < a + ,                                                                             (6.2)

которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-, a+), т.е. попадают в какую угодно малую -окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x_n = f(n) целочисленного аргумента n.

Теорема (существование предела у монотонной функции). Для того чтобы неубывающая на множестве E функция f:E R имела предел при x s, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при x i необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена снизу.