2. Предел функции.
Определение. Будем говорить, что последовательность точек сходится при к точке , если при .
В этом случае точку называют пределом указанной последовательности и пишут: при .
Легко показать, что тогда и только тогда, когда одновременно , (т.е. сходимость последовательности точек пространства эквивалентна покоординатной сходимости).
Пусть и – предельная точка множества .
Определение. Число называют пределом функции при , если для такое, что , как только . В этом случае пишут
или при .
При кажущейся полной аналогии понятий предела функций одной и двух переменных существует глубокое различие между ними. В случае функции одной переменной для существования предела в точке необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум направлениям: справа и слева от предельной точки . Для функции двух переменных стремление к предельной точке на плоскости может происходить по бесконечному числу направлений (и необязательно по прямой), и потому требование существования предела у функции двух (или нескольких) переменных «жестче» по сравнению с функцией одной переменной.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- I. Введение в анализ.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- Теорема о связи функции с её пределом в точке
- Алгебраические свойства пределов
- Первый замечательный предел
- Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- Сравнение функций.
- 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- Свойства Локальные
- Глобальные
- 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- Односторонний предел по Гейне
- 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- Правила дифференцирования функций
- Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- Производные и дифференциалы высших порядков
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- Разложение основных функций по формуле Тейлора
- Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- Полное исследование функции и построение графика функции
- III. Неопределенный интеграл.
- Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- IV. Определенный интеграл.
- Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- Для неопределённого интеграла
- Для определённого
- Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- Несобственные интегралы II рода
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- Геометрические приложения определенного интеграла:
- 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- V. Функции многих переменных.
- 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- 2. Предел функции.
- Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- Дифференциалы высших порядков
- Формула Тейлора для функции двух переменных
- Различные формы остаточного члена
- Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области