Геометрические приложения определенного интеграла:

а) вычисление площадей плоских фигур при различных способах задания уравнений ограничивающих линий;

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f  ( x ), осью абсцисс и прямыми x  =  a , x  =  b , определяется как

Модель 3.11. Площадь криволинейной трапеции.

Площадь фигуры, ограниченной функцией f  ( x ), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой где x _i – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [ a ;  b ] нулями функции f  ( x ) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.

б) вычисление длин дуг линий при различных способах задания уравнений линий;

Пусть задана кривая Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t  = α и t  = β выражается формулой

Рисунок 3.4.4.3. В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y  =  f  ( x ), a  ≤  x  ≤  b , выражается формулой

5. Площадь поверхности вращения.

Модель 3.13. Площадь поверхности вращения.

Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y  =  f  ( x ), a  ≤  x  ≤  b , и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой

в) вычисление объемов и площади поверхности тел вращения.

3. Объем тела вращения.

Модель 3.12. Объем тела вращения.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [ a ;  b ] функцией f  ( x ). Его объем выражается формулой

Рисунок 3.4.4.2.

Пусть тело заключено между плоскостями x  =  a и x  =  b , а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x , – непрерывная на отрезке [ a ;  b ] функция σ ( x ). Тогда его объем равен