Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
Рассмотрим функцию , заданную на отрезке , и предположим, что она интегрируема на отрезке . Тогда при любом эта функция будет интегрируема на отрезке и, следовательно, функция
определена при всех . При мы по определению положим её равной 0, то есть будем считать, что для любой функции и точки из её области определения. Итак, функция равняется значению определённого интеграла с переменным верхним пределом, вычисленного от интегрируемой функции , не обязательно непрерывной.
|
| (3.6) |
где -- произвольная первообразная для функции . Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница. Она играет ключевую роль в интегральном исчислении и во всём математическом анализе.
Напомним, что мы получили её в предположении, что функция непрерывна. Если функция имеет разрыв на отрезке , то разность значений первообразной может не иметь никакого отношения к величине определённого интеграла. Поэтому при применении формулы Ньютона - Лейбница нужно строго следить за законностью этого действия.
Смысл формулы Ньютона - Лейбница (3.6) состоит в том, что для нахождения определённого интеграла нам достаточно теперь найти произвольную первообразную для функции (напомним, что для этого надо найти неопределённый интеграл) и взять разность значений этой первообразной в концах отрезка, .
Итак, формула Ньютона - Лейбница устанавливает связь между определённым интегралом от данной функции и первообразной для этой функции, то есть между определённым и неопределённым интегралами. Заметим, что смысл этих двух понятий первоначально совершенно различен: неопределённый интеграл -- это набор функций (первообразных), а определённый интеграл -- это число (равное пределу интегральных сумм).
При вычислениях разность часто называют подстановкой в функцию пределов и и обозначают . Таким образом, по определению,
а формулу Ньютона - Лейбница можно записать в виде
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- I. Введение в анализ.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- Теорема о связи функции с её пределом в точке
- Алгебраические свойства пределов
- Первый замечательный предел
- Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- Сравнение функций.
- 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- Свойства Локальные
- Глобальные
- 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- Односторонний предел по Гейне
- 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- Правила дифференцирования функций
- Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- Производные и дифференциалы высших порядков
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- Разложение основных функций по формуле Тейлора
- Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- Полное исследование функции и построение графика функции
- III. Неопределенный интеграл.
- Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- IV. Определенный интеграл.
- Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- Для неопределённого интеграла
- Для определённого
- Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- Несобственные интегралы II рода
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- Геометрические приложения определенного интеграла:
- 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- V. Функции многих переменных.
- 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- 2. Предел функции.
- Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- Дифференциалы высших порядков
- Формула Тейлора для функции двух переменных
- Различные формы остаточного члена
- Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области