Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для произ­водной неявно заданной функции одной переменной

Сложная функция f( (z)) дифференцируема в точке z₀, если в этой точке дифференцируема функция  (z), а функция f(u) дифференцируема в точке u₀, где u₀ =  (z₀) и u =  (z). При этом в точке z₀ имеет место формула:

Для элементарных функций комплексного переменного справедливы формулы дифференцирования, установленные для действительных значений аргумента. Например, рассмотрим функцию  f(z) = z³. По определению производной для любой точки z, принадлежащей комплексной области, записываем:

Предел существует для любой точки z, принадлежащей комплексной области и (z³)' =3z². Аналогично можно получить: (zⁿ)' = nz^n-1 (n - действительное число).

ПРИМЕР 1. Вычисление значения производной функции коплексного переменного в точке.

Если f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y), т.е. u(x, y) = Re f(z) и v(x, y) = Im f(z), то справедливы следующие утверждения:

1. Если функция f(z) дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей u(x, y) = Re f(z),   v(x, y) = Im f(z) и выполняется условие Коши-Римана:

2. Если u(x, y)  и v(x, y) дифференцируемы в точке (x₀, y₀) (имеют непрерывные частные производные в этой точке) и выполняется условие Коши-Римана, то функция   f(z) = f(x+iy) = u(x, y) + iv(x, y)  дифференцируема в точке z₀ = x₀+ iy₀.

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области  плоскости задана функция , и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением  , является графиком некоторой функции   , определяемой уравнением   . В этом случае говорят, что функция    задана неявно уравнением  . Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция   и ее частная производная по   непрерывны в    , . Тогда в некоторой окрестности точки  существует единственная непрерывная функция     , задаваемая уравнением   , так, что в этой окрестности   .

ПРИМЕР 1.  Построение графиков неявных функций одной переменной.

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение    задает неявно функцию  . Это же уравнение может задавать неявно функцию или     .