Сравнение функций.

Определение 15 (символ О). Если для функций f(x), g(x) существуют постоянные c>0, >0, такие, что |f(x)| c |g(x)| при |x-a|<, x a, то говорят, что f является ограниченной по сравнению с функцией g в окрестности точки a и пишут, что f(x) = O(g(x)) при x a.

Данное определение переносится и на случай, когда x, x.

Пример 12.

1. Так как |1/x²|  |1/x| при |x|  1, то 1/x² = O(1/x) при x ;

2. 1/x = O(1/x²) при x 0 так как |1/x| 1/x² при |x| 1.

Запись f=O(1) при x a означает, что функция f(x) ограничена в некоторой окрестности точки a.

Определение 16 (функции одного порядка). Если f=O(g) и g=O(f) при x a  f и g — одного порядка при x a.

Пример 13. Функции f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x  0 являются бесконечно малыми одного порядка при x a , так как

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x|  3  f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x|  1  g=O(f).

Определение 17 (эквивалентные функции). Функции f(x) и g(x) называются эквивалентными при x a, если (x): f(x) =  (x)g(x), где lim_{x a} (x) = 1.

Иначе говоря функции эквивалентны при x a, если предел их отношения при x a равен единице. Справедливы следующие соотношения, их еще называют асимптотическими равенствами:

tg x ~ x, x  0, arcsin x ~ x, x  0, arctg x~ x, x  0

e^x-1~ x, x 0

Следующая теорема удобна для применения на практике при вычислении пределов.

6. Второй замечательный предел Ит(1 + -)^и = е. Число е. Экспонента и натуральные логарифмы

Доказательство второго замечательного предела:

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где  — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

5. для ,

Экспонента — показательная функция exp(x) = e^x, где e — основание натуральных логарифмов (e = 2.7182818284590452...).

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается ln(x):

ln(x) = log_e(x)