Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
Частные производныеназывают частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от (х;у) є D. Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и т. д. порядков.
Так, и т.д.
Частная производная второго или более высокого порядка, взятая по различным переменным, называется смешанной частной производной. Таковыми являются, например,
Пример 44.2. Найти частные производные второго порядка функции z = x4-2x2y3+y5+1.
Решение: Так както
Оказалось, что
Этот результат не случаен. Имеет место теорема, которую приведем без доказательства.
Теорема 44.1 (Шварц). Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.
В настности, для z=ƒ(х; у) имеем:
Теорема Шварца
Пусть выполнены условия:
-
функции определены в некоторой окрестности точки .
-
непрерывны в точке .
Тогда , то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.
Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.
-
Тем не менее, условие непрерывности смежных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- I. Введение в анализ.
- Предел функции в точке и на бесконечности. Геометрическая интерпретация. Теорема о единственности предела.
- Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства
- Теорема о связи функции с её пределом в точке
- Алгебраические свойства пределов
- Первый замечательный предел
- Понятие предела последовательности. Теорема существования предела последовательности
- Сравнение функций.
- 8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Таблица эквивалентности
- 9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций
- Свойства Локальные
- Глобальные
- 10.Односторонние пределы функции в точке. Точки разрыва и их классификация.
- Односторонний предел по Гейне
- 11.Основные теоремы о непрерывных на отрезке функциях
- 11. Дифференциальное исчисление функций одной перемен-
- Правила дифференцирования функций
- Производная сложной, обратной, параметрически заданной функции
- Понятие дифференциала функции и его геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Основные теоремы о дифференцируемых функциях (т.Ролля, Лагранжа, Коши)
- Производные и дифференциалы высших порядков
- Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Раскрытие показательных неопределенностей
- Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано
- Разложение основных функций по формуле Тейлора
- Монотонные функции. Признаки возрастания (убывания) функции на интервале
- Понятие экстремума функции в точке. Необходимое и достаточное условия экс тремума функции в точке
- Исследование функций на экстремум с помощью высших производных
- Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- Выпуклость и вогнутость графика функции, точка перегиба. Необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции
- Понятие асимптоты графика функции. Нахождение вертикальных и наклонных асимптот
- Полное исследование функции и построение графика функции
- III. Неопределенный интеграл.
- Понятие первообразной и ее свойства. Теорема о множестве первообразных
- 30.Таблица неопределенных интегралов основных функций
- Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределенном интеграле
- Интегрирование функций с квадратным трехчленом в знаменателе
- Интегрирование рациональных дробей методом разложения на простые дроби
- Рекуррентные формулы. Вычисление интеграла
- Интегрирование иррациональных функций
- Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная подстановка. Некоторые частные случаи
- 1.4 Интегрирование тригонометрических функций.
- 37.Интегралы, содержащие квадратичную иррациональность, и их вычисление с помощью тригонометрических подстановок
- IV. Определенный интеграл.
- Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл, свойства
- Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
- Интегрирование по частям и заменой переменной в определенном интеграле
- Для неопределённого интеграла
- Для определённого
- Несобственные интегралы I и п рода. Определение, свойства, теоремы сравнения
- Несобственные интегралы I рода
- Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- Примеры
- Несобственные интегралы II рода
- Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
- Геометрические приложения определенного интеграла:
- 43. Физические приложения определенного интеграла (работа переменной силы при прямолинейном перемещении материальной точки, давление жидкости на пластинку).
- V. Функции многих переменных.
- 44. Функции многих переменных (фмп). Область определения, предел в точке, непрерывность
- 2. Предел функции.
- Понятие частной производной фмп. Правила дифференцирования
- Дифференцирование сложной функции многих переменных. Формула для производной неявно заданной функции одной переменной
- Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- Частный и полный дифференциалы фмп. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
- Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных
- Дифференциалы высших порядков
- Формула Тейлора для функции двух переменных
- Различные формы остаточного члена
- Экстремумы фмп. Необходимое и достаточное условия экстремума фмп в точке
- Постановка задач на экстремум. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции в замкнутой области