1.4 Интегрирование тригонометрических функций.

1. Интегралы вида , где рациональная функция от u и v.

Интегралы указанного вида сводятся к интегралам от рациональной функции новой переменной t с помощью подстановки , которую называют универсальной тригонометрической подстановкой. При этом используются формулы тригонометрии . Смотри пример 1 .

Замечание. Универсальная тригонометрическая подстановка часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому чаще применяются другие подстановки.

2. Подынтегральная функция удовлетворяет условию

(1)

или условию

. (2)

Тогда можно использовать подстановку , или , соответственно. Смотри пример 2 .

3. Подынтегральная функция удовлетворяет условию . Это условие выполняется в частности для функций, содержащих только четные степени и В этом случае часто применяют замену переменной , где или , где .При этом, так как или ,то . Функции и выражаются через t с помощью тригонометрических формул и . Смотри пример 3 .

4. Вычисление интегралов вида , где m и n ? целые числа.

В этом случае полезно пользоваться следующими правилами:

А) если m - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или, (что то же самое) делаем замену переменной . При этом число n может быть рациональной дробью. Аналогично, если n - нечетное положительное число, то вносим под знак дифференциала или применяем подстановку .