Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Пеано

Теорема 6.1 (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано)   Пусть  -- остаток в формуле Тейлора для функции в точке , и функция имеет непрерывную -ю производную. Тогда  -- бесконечно малая величина того же или большего порядка малости, как , при . (Остаточный член , о котором известны эти сведения о порядке малости, называется остаточным членом в форме Пеано.)

        Доказательство.     Утверждение теоремы означает, что существует

При остаток будет иметь тот же порядок малости, что , а при  -- больший порядок малости. Итак, вычислим предел:

Применим к этому пределу правило Лопиталя, повторив этот приём раз:

Последний предел мы вычислили прямой подстановкой, поскольку по предположению  -- непрерывная функция. Существование предела доказывает утверждение теоремы.     

Доказанная теорема утверждает, что при малых отклонениях от значения будут отклоняться от не более чем на величину -го порядка малости относительно разности , что даёт нам уверенность в том, что замена на многочлен Тейлора будет давать очень хорошее приближение, и это приближение будет улучшаться, если мы будем увеличивать значения . Однако доказанная теорема не даёт нам оценки остатка . Этот пробел устраняет следующая теорема.

Теорема 6.2 (остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех существует -я производная . Тогда для любого существует точка , лежащая между и (то есть при ), такая что

(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

        Доказательство.     Это доказательство не столь прямолинейное, как в предыдущей теореме. Рассмотрим вспомогательную функцию переменного , изменяющегося в рассматриваемой окрестности точки . Эта функция будет зависеть также от параметра :

Подберём такое значение параметра , равное , чтобы при функция обращалась в 0: . Фиксируем такое значение .

Тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля на отрезке (или , если ): , что очевидно по определению функции ; согласно выбору параметра; дифференцируемость на и непрерывность в точках и следуют из предположенных свойств функции . По теореме Ролля существует такая точка , что

Однако нетрудно подсчитать, находя производные произведений в определении функции , что

Все слагаемые в начале правой части, включая обозначенные многоточием, взаимно уничтожаются, так что получаем

Подстановка даёт

откуда следует, что

Теперь вспомним, что значение параметра мы выбрали так, что . Подставив найденное значение в выражение для , получим:

Отсюда получаем, наконец,

что и требовалось доказать.