Матрица перехода

Рассмотрим линейное пространство V, размерность которой состовляет r.

Пусть и - два базиса пространства V.

Базис a – старый базис, b - новый базис. Разложим каждый из векторов b по базису a.

Записанную систему выражений можно представить в матричном виде

= *

Матрица Т = называется матрицей перехода от старого базиса к новому.

Матрица перехода устанавливает связь между координатами вектора в соответствующих базисах.

Рассмотрим вектор . Пусть в разных базисах координаты в старом базисе.

Этот вектор в новом базисе имеет координаты .

последнее выражение можно представить в матричном виде

* = * .

Используя связь между базисами, устанавливаемую матрицей перехода, записанное выражение представляем:

* = *Т* .

Таким образом устанавливаем связь между координатами вектора в разных базисах.

=Т* . (*)

Выражение (*) определяет старые координаты через новые.

Отметим, что матрица Т – невырожденная, так как вектора системы и системы линейно независимы. Поэтому матрица Т имеет обратную матрицу и из выражения (*) следует, что новые координаты выражаются через старые с помощью обратной матрицы.

=Т^-1* . (**)

Пример: Установить связь между двумя базисами, получаемыми от вращения старого базиса на угол α. Для упрощения выкладок будем рассматривать ортонормированный базис.

Пусть - старый ортонормированный базис.

- новый базис.

Изобразим α на декартовой системе координат.

Разложим е₁ по старому базису

U U

U U

Пусть тогда

Пусть в старом базисе найти в новом базисе

Новые координаты вектора a