Система линейных однородных уравнений

Система линейных однородных уравнений

(5)

Система однородных уравнений всегда совместна , так как она с одной стороны обладает нулевым решением с другой стороны нулевой столбец не может изменить ранга матрицы коэффициентов . Заметим для того, чтобы однородная система уравнений обладала не нулевым решением, нужно потребовать, чтобы ранг матрицы коэффициентов был меньше числа неизвестных .

Множество решений системы однородных уравнений обладает любопытными свойствами .

Свойства:

1)Если вектор является решением системы однородных уравнений , то вектор также является решением системы однородных уравнений.

Доказательство : i – тое уравнение системы (5) можно представить в виде

Пусть вектор с координатами , является решением системы(5) тогда .Подставим координаты в левую часть i – того уравнения получим

Так как вектор является решением системы (5) , получим что выражение было искомое . В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 1 доказано.

2) Если вектора и являются решением системы (5) , то их линейная комбинация также является решением системы (5) .

Доказательство : Пусть вектор и является решением системы (5) .Составим линейную комбинацию векторов и .

Подставим координаты линейной комбинации в i-тое уравнение системы (5).Получим

В силу дистрибутивности следует

Так как вектора является решением системы (5)получим .

В силу произвольности выбора i –того уравнения свойство 2 доказано.

Доказанные свойства позволяют говорить о множестве решений систем линейных однородных уравнений как о линейном пространстве .