Уравнение плоскости

Определение: Геометрическое место всех точек, каждая пара которых образует вектор компланарный двум заданным векторам, называется плоскостью.

З афиксируем на плоскости точку A(x₀,y₀,z₀) и определяем радиус-вектором . Возьмем произвольную точку M(x,y,z), определенную r-вектора . Вектор и он будет комплонарен векторам .

Получаем, что радиус-вектор точки M: (6), где - радиус-вектор начальной точки, - направляющие вектора плоскости t₁, t₂ – параметры. Уравнение (6) называется векторным параметрическим уравнением плоскости от вектора уравнения (6) можно всегда перейти к трем скалярным уравнениям

(7)

Уравнение (7) называется параметрическим уравнением плоскости. Соотношение (6),(7) говорят о том, что ранг матрицы менее 3. RangB<3, т.е. определитель матрицы B должен быть равен 0.

(8)

Соотношение (8) можно рассматривать как выражение смешанного произведения векторов .

Используя определение смешанного произведения выражение 8’ можно рассматривать в виде ,

где круглые скобки – скалярное произведение, квадратные скобки – векторное произведение.

Исходя из определения векторного произведения, замечаем, что векторная произведение векторов и даёт вектор в нормальный плоскости, такой что тройка векторов - правая. Таким образом уравнение 8’’ можно переписать в виде:

Обозначим скалярное произведение через некоторое число D, соотношение (9) можно переписать в виде:

(10)

Обозначим координаты нормального вектора через A,B,C

Выражение (10) можно записать в координатном виде:

Ax+By+Cz=D (11)

Уравнение (11) называется общим уравнением плоскости.