Система однородных уравнений.

(1)

Множество решений системы (1) является линейным пространством , ранее линейное пространство определяемое базисом , порождающим линейное пространство.

Определение: Базис пространства решений системы (1) называется фундаментальной системой решения.

Теорема: Если ранг r матрицы коэффициентов r<n, то система обладает фундаментальной системой решений.

Доказательство: Пусть для определенности базисный минор порядка r, расположенного в верхнем левом углу, тогда систему(1) можно переписать в эквивалентном виде:

(2)

Корневой определитель системы (2) . Общее решение системы может быть получено по методу Крамера в зависимости от n-r параметров. Найдем n-r частных решений системы (2), таким образом, что бы значения свободных параметров образовывали единичную матрицу порядка n-r.

Построенная система векторов, линейно независима, т.к. составлена из координат векторов матрицы

Замечаем в этой матрице минор порядка

Для доказательства теоремы остается доказать, что любое решение системы(1) является линейной комбинацией выписанных векторов.

Возьмем произвольный вектор , являющийся решением системы(1), рассмотрим вектор ,

Согласно свойствам решений, однородных линейных уравнений, вектор также является решением системы(1).

Заметим, что в координатной форме можно представить в виде:

Являясь решением системы, , должен удовлетворять соотношением (2), причем свободные параметры равны 0.

Решая систему (2) при нулевых параметрах, получим что

т.е. является нулевым и произвольное решение системы(1) можно представить в виде: , т.е. построена система векторов является фундаментальной системой решений для системы(1).

2.28 Пример:

Найдем общее решение по методу Гаусса.

RangA=2

общее решение

Для построения фундаментальной системы общего решения, рисуют вспомогательную таблицу.

v v

Решение можно представить в векторном виде, - произвольные величины.

Для построения фундаментальной системы решений, не обязательно использовать единичную матрицу, необходимо записать матрицу порядка n-r, которая отлична от нуля.

В некоторых случаях приходится решать обратную задачу, при заданном базисе найти систему уравнений, решение которой совпадает с линейным пространством, натянутый на этот базис.

Пример: пусть базис состоит из векторов и .

Рассмотрим произвольный вектор , вектор является линейной комбинацией векторов . . Это означает, что вектора , линейно зависимы, то есть ранг матрицы коэффициентов составленных из этих векторов не может равняться 3.

Составим из коэффициентов векторов матрицу:

Разложение будет иметь место, когда ранг матрицы, составленный из векторов . Элементарными преобразованиями строк записанной матрицы, решим вопрос о рангах матрицы векторов , и ранге расширенной матрицы

~ ~ ~

~ ~ ~

~

ранг расширенной матрицы=2

Таким образом, получили систему уравнений.

Линейные неоднородные уравнения

(3)

Наряду с системой (3) рассмотрим соответственную систему однородных уравнений

(4)

Система (4) называется приведенной системой неоднородного уравнения (3), непосредственно проверкой устанавливаются следующие свойства в системы (3)

1⁰ Пусть произвольные решения системы (3), тогда являются произвольным решением системы (4).

2⁰ Если некоторое решение системы (3), то общее решение системы (3) имеет вид , где -фундаментальная система решения приведенной системы решений (3) в векторном виде.

Таким образом, общее решение системы (3) представлена в векторном виде.

(5)

В соотношение (5) - частное решение системы (3); - вектора фундаментальной системы решений (3).

Частным случаем представления (5) является векторное, параметрическое уравнение прямой.

Определение: Множество решений системы (3) называются линейным многообразием.

Из выражения (3) следует, что линейное многообразие получается из линейного пространства сдвигом на некоторой вектор частного решения.

Пример: решите систему неоднородных уравнений в векторном виде.

Пусть параметры нулевые.

Общее решение можно представить в виде: