Поверхность второго порядка

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

(4),

называют поверхностью второго порядка.

Первые шесть слагаемых называют квадратичной формой от трёх переменных x,

y, z.

(5)

Квадратичная форма (5) может быть представлена в матричном виде:

(5’)

Следующие три слагаемых уравнения (4) называются линейной формой от трёх переменных:

(6)

В матричном виде уравнение (6) можно представить как

(6’)

Построив новый ортогональный базис из собственных векторов матрицы (5’), приведём квадратичную форму к каноническому виду соответствующей матрицы диагональной формы.

Таким образом поверхность второго порядка можно записать в виде:

(4’)

Величины называются собственными значениями матрицы квадратичной формы. Если собственные значения не равны 0 (≠0), то за счет переноса начала координат уравнение (4’) существенно упрощается:

В этом случае уравнение поверхности второго порядка примет вид:

Рассмотрим некоторые канонические формы поверхностей второго порядка.