Правило Крамера

Лемма: Сумма произведений всех элементов некоторого столбца определителя на алгебраические дополнения соответственных элементов другого столбца равна 0.

Доказательство: Рассмотрим определитель n-го порядка

Разложим определитель по j-му столбцу.

Заменим в определителе d по j-ому столбцу столбцом , получим

Так же разложим определитель по j-ому столбцу.

Заменив в определителе d_j столбец b любым из оставшихся столбцов, получим определитель

Заметим, что определитель будет содержать два ( ) одинаковых столбца , поскольку k-ый столбец мы поставили вместо j-ого столбца.

Согласно свойствам определителя, если в определителе содержится два одинаковых столбца, то он равен 0.

Рассмотрим определённую систему линейных уравнений n-ого порядка.

(2)

Пусть набор чисел является решением системы (2). Подставляя величины вместо неизвестных, получим систему тождеств (3).

(3)

Возьмём число j из множества первых n натуральных чисел. Умножим первое тождество на , второе – на , … , n-ое – на , где алгебраические дополнения вычисляются с помощью определителя n-ого порядка, составленного из коэффициентов системы (2).

Сложив полученные тождества, придём к выражению

Коэффициент при является разложением определителя коэффициентов по j-ому столбцу и он равен . Остальные коэффициенты при в левых частях равны сумме произведений элементов некоторого столбца на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца.

Согласно лемме, все эти коэффициенты равны 0. Выражения, стоящие в правой части при доказательстве леммы обозначают . Таким образом получили выражение (4)

Покажем что система чисел (4) удовлетворяет системе (2)

Подставим уравнение системы (2) и подставим в него значение (4)

Выражение, стоящее в круглых скобках =0, если (согласно лемме) если то выражение в скобках равно определителю d. Система (4) действительно является решением системы (2). Получаем решение системы называемое правилом Крамера.

Обобщение теоремы о разложении определителя по строке (столбцу). Теорема Лапласа.

Пусть в определителе d выбрано k строк (столбцов), где , тогда произведений всех миноров, располагаемых в k-строках (столбцах) но их алгебраические дополнения равны определителю d.

= (Разложим этот определитель по 1 и 3 столбцам.)

=

Основные операции над матрицами

а) Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры и если их элементы, стоящие на одинаковых местах, совпадают.

b) Суммой двух матриц А и В одних и тех же размеров называется матрица С тех же размеров, элементы которой определяются размером:

(1)

Из формулы (1) вытекает, что сложение матриц обладает коммутативностью и ассоциативностью

с) Произведением матрицы А на q называется матрица С элементы которой определяются выражением

(2)

Из формулы (2) вытекает что умножение матрицы на число обладает: Ассоциативностью относительно числовых множителей

Дистрибутивностью относительно числовых множителей

И дистрибутивностью относительно матриц

d) Умножение матриц.

Пусть имеется матрица А размером m на n, и матрица В размером n на p, тогда произведением матриц А на В называется матрица С размера m на p, элементы которой определяются выражением

(3)

Из формулы (3) заключаем, что умножение матриц определено, когда число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В.

Чтобы получить элемент нужно элементы i-строки матрицы А перемножить с соответствующими элементами j-столбца матрицы В.

Формулу (3) называют правилом строки на столбец.

Пример:

А = , В =

Матрица А имеет размеры 2 на 3, В – 3 на 2.

Видим что заданные матрицы можно перемножить.

АВ = = =

Перемножим эти матрицы в обратном порядке.

ВА = = =

Приведенный пример показывает, что умножение матриц не обладает коммутативностью, причем умножение матрицы в различном порядке поможет приводить к матрицам различных размеров. Для того чтобы при умножении матриц в различном порядке сохранились размеры, перемножаемые матрицы должны быть квадратными, одного и того же размера.

Из формулы (3) вытекает, что умножение матриц обладает ассоциативностью

А (ВС) = (АВ) С

и левой и правой дистрибутивностью

А (В+С) = АВ + АС

(В+С) А = ВА + СА

Теорема: Определитель произведения нескольких квадратных матриц равен произведению определителей.

Доказательство: В силу ассоциативности умножения матрицы достаточно рассмотреть случай произведения двух матриц, т.е. достаточно доказать, что det (AB) = det A * det B.

Выпишем вспомогательный определитель порядка 2n

Видим, что в верхнем левом углу определителя стоят элементы матрицы А.

Стоят элементы матрицы А в правом нижнем углу определителя , стоят элементы матрицы В . Правый верхний угол определителя состоит из нулевых элементов . Левый нижний угол содержит 1 по главной диагонали и нули на остальных местах . Вычислим определитель по 1 n- строкам воспользовавшись теоремой Лапласа.

=detA detB=detA*debB

Преобразуем определитель , не меняя его значения .Создадим нули в правом нижнем углу определителя . При этом нули в правом верхнем углу исчезнут .

Выпишем элемент , который при таких преобразованиях окажется на пересечении i-той строки (n+j) строкой .

Сравнивая получаем выражение с формулой (3) , замечаем что получаем значение ,являющегося произведением матрицы А на В . То образуется , выполнив преобразования определителя .

Вычислим определитель разложив по последующим n столбцам.

= detC

Подсчитаем число 3. S = 1+2+3+4+...+n+(n+1)+(n+2)+...+2n=(1+2n/2)*2n=n+2

Воспользовавшись формулой для сумм арифметической прогрессии и определитель будет равен

Таким образом получим , что определитель матрицы C (detC)

det(C)=det(AB)=det(A)det(B)

Определение: квадратная матрица называется вырожденной (особенной) , если ее определитель (det) =0.