Линейные пространства

Исходя из операций над матрицами, мы ввели понятие комплексного числа. Другим важнейшим понятием, связанным с матрицами является понятие линейного пространства.

Определение: Множество L элементов , … называется линейным пространством, если выполняются следующие требования

1. На множестве L определена операция сложения элементов для = +

2. На множестве L определена операция умножения элементов на число.Для

, называемый произведением числа на число x и обозначается

= .

3. Введенные две операции удовлетворяют следующим 8 аксиомам.

1) + = + коммутативность сложения

2) ( + ) + = + ( + ) ассоциативность сложения.

3) Существование нулевого элемента. Существует нулевой элемент такой, что для любого

= +

4) Существование противоположного элемента.

+ =

5) Для R L , ассоциативно относительно числовых множителей.

6) L ,

7) R L , дистрибутивно относительно сложения чисел .

8) R R , дистрибутивно относительно сложения элементов .

Рассмотрим множество n-мерных векторов .Напомним, что n- мерным вектором называется упорядоченная комбинация n-действительных чисел . n-мерный вектор можно рассматривать как матрицу размера 1*n . Таким образом, на множестве n-мерных векторов естественным образом вводятся операции сложения векторов и умножение вектора на число . Вводится

,

,тогда

Замечаем , что введенные операции удовлетворяют всем требованиям определения линейного пространства . Другими словами множества n- мерных векторов являются линейным пространством . Большинство линейных пространств сводится к множеству n- мерных векторов. Пусть задана совокупность k-векторов и некоторый набор вещественных чисел .Выражение называется линейной комбинацией векторов .

Пример: Пусть заданы вектора , , и вещественные числа . Вычислим линейную комбинацию заданных чисел.

Таким образом видим, что каждая линейная комбинация определяется некоторым вектором.

Пусть заданы два упорядоченных набора из n вещественных чисел

Вычислим выражения используя операции над векторами

Последнее выражение позволяет сделать вывод о замкнутости линейных комбинации векторов .Кроме того нулевой элемент можно представить , как линейную комбинацию с нулевыми коэффициентами . Таким образом множество линейных комбинаций векторов является линейным пространством, называемым линейной оболочкой векторов и обозначается < > .Говоря, что это линейное пространство V , натянуто на вектора .