Монотонные последовательности.
Определение: Последовательность {Xn} называется монотонной, если она является либо не убывающей, либо невозрастающей.
Определение: Последовательность {Xn} называется неубывающей (невозрастающей), если все элементы этой последовательности, начиная со второго удовлетворяют неравенству .
Неубывающая и невозрастающая последовательность называются монотонной последовательностью.
Теорема(теорема о сходимости некоторой ограниченной последовательности): Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), эта последовательность является сходящейся.
Доказательство: Система отрезков { } наз. стягивающейся системой отрезков, если недостающий отрезок в предыдущем и если длина отрезка 0 при n
Следствии: У всякой стягивающейся системы отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам.
- Отношение эквивалентности
- Свойства бинарных отношений
- Метод Гаусса . Решение систем линейных уравнений.
- Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.
- Элементы комбинаторики.
- Свойства числа сочетаний
- Определитель n-го порядка.
- Разложение определителя по строке (столбцу).
- Правило Крамера
- Следствия из теоремы.
- Решение матричных уравнений
- Комплексные числа
- Алгебраические операции над комплексными числами.
- Линейные пространства
- Линейная зависимость векторов .
- Базис. Размерность.
- Ранг матрицы
- Матрица перехода
- Система линейных уравнений
- Теорема Кронекера - Капели
- Система линейных однородных уравнений
- Система однородных уравнений.
- Линейные преобразования
- Евклидово пространство
- Свойства скалярного произведения
- Процесс ортоганизации.
- Векторная алгебра.
- Скалярное произведение векторов в ортогональном базисе.
- Двойное векторное произведение
- Уравнение прямой и плоскости
- Уравнение плоскости
- Некоторые задачи о прямых и плоскостях.
- Уравнение плоскости, проходящее через три заданных числа.
- Расстояние от точки a до плоскости.
- Расстояние от точки до прямой.
- Расстояние между непараллельными прямыми в пространстве.
- Кривые второго порядка
- Уравнение касательной к эллипсу
- Гипербола
- Парабола
- Поверхность второго порядка
- Поверхности вращения
- Эллипсоид
- Конус второго порядка
- Однополостный гиперболоид
- Двуполостный гиперболоид
- Эллиптический параболоид
- Гиперболический параболоид
- Математический анализ
- Абсолютная величина u ее свойства
- Последовательности.
- Основные свойства бесконечно малых последовательностей.
- Сходящиеся последовательности .
- Монотонные последовательности.
- Число е
- Функция
- Предел функции.
- Непрерывные функции.
- Классификация точек разрыва функции Точка устранимого разрыва.
- Разрыв первого рода (конечный скачок)
- Разрыв второго рода.