Уравнение прямой и плоскости

Дадим определение прямой исходя из понятия линейной зависимости векторов.

Определение: Геометрическое место всех точек, каждая пара которых образует вектор коллинеарный заданному, называется прямой.

В озьмем на прямой l точку A(x₀,y₀,z₀) и произвольную точку M с координатами (x, y, z). Координаты точки A определяются радиус-вектором , координаты точки M определяются радиус-вектором , при этом пара точек AM определяет вектор . Согласно определеннию прямой получаем, что колинеарен вектору , (1), где - радиус вектор начальной точки, a- направляющий вектор прямой, t – величина параметра меняя параметр t от получим всю совокупность точки прямой. При t=0 уравнение (1) определяет начальную точку A. Уравнение (1) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Исходя из уравнения (1) всегда можно получить соответствующие скалярные уравнения для координат точек прямой

(2)

Соотношение (2) называется параметрическими уравнениями прямой. Исключая из уравнения (2) параметр t придем к каноническому уравнению прямой…

Приравняв эти значения параметра, получим:

(3)

Соотношение (3) называется каноническим уравнением прямой. Уравнения (1),(2),(3) говорят о том, что ранг матрицы RangB=1

Это означает, что миноры второго порядка:

; ;

Учитывая определение векторного произведения и выражения векторного произведения в ортогональном базисе

Равенство ранга матрицы B единицы означает, что точки прямой удовлетворяет уравнению:

(4)

Обозначим векторное произведение , (5)