Базис. Размерность.

Определение: пусть V не нулевая оболочка n-мерных векторов. Система векторов , называется базисом линейной оболочки, если она линейно независима и порождает всю оболочку V, .

Из определения базиса вытекает, что любой вектор , представляется в виде линейной комбинации базисных векторов . Причем это представление единственно.

Величины называются компонентами (координатами) вектора , относительно базиса .

Заметим, что в пространстве n-мерных векторов, вектора , образуют базис. Составим линейную комбинацию векторов , и приравняем её к нулю.

,

выполним сложение. В левой части, равенство 0 будет трактоваться в виде , таким образом получим тривиально линейную комбинацию. Пусть произвольный n-мерный вектор. Заметим, что вектор можно представить как линейную комбинацию векторов

Другими словами, пространство n-мерных векторов порождается векторами .

Лемма: Пусть V не нулевая оболочка n-мерных векторов, - базис этой оболочки. Если система векторов ,принадлежит линейной оболочке V, линейно независима, то выполняется неравенство .

Доказательство: Составим линейную комбинацию векторов , и приравняем её к нулю . Разложим каждый из векторов по базису X, получим:

……………………………

Выразим линейные комбинации y через вектора x. В результате получается:

Поскольку вектора, образующие базис линейно независимы, приходим к системе линейных уравнений:

Для доказательства леммы предположим противное. Пусть s>r; замечаем, что при этом система уравнений совместно. Она обладает нулевым решением, если s>r, то есть число неизвестных в системе больше числа уравнений, то эта система неопределенная(не может быть приведена к ) Таким образом заключаем, что при условии s>r система обладает бесконечным множеством решений, среди которых присутствует ненулевое решение. Таким образом получаем противоречие. С одной стороны система векторов y линейно-независима, с другой стороны существует ее тривиальное линейная комбинация равная 0. Полученное противоречие показывает, что этот случай невозможен.

Теорема: Любая ненулевая линейная оболочка n-мерных векторов обладает конечным базисом. Число векторов, входящих в базис постоянно и не зависит от выбора базиса. Число векторов, входящих в базис, называется размерностью линейной оболочки и обозначается dimV.

Доказательство: Пусть некоторая линейная независимая система векторов принадлежащая оболочке V, если эта система векторов не является базисом, то в оболочке V найдется вектор , который не является линейной комбинацией векторов . Согласно утверждению 6 теоремы о линейной независимости, система векторов линейно независима. Продолжая указанный процесс, будем увеличивать число линейно независимых векторов. Эта процедура не может тянуться бесконечно, поскольку в пространстве n-мерных векторов существует базис => процесс построения линейно независимой системы оборвется на некотором шаге, который ≤ n (r≤n), и система векторов , образует базис оболочки V. Покажем, что число векторов, входящих в различные базисы, одно и тоже. Пусть другой базис оболочки V. Согласно лемме, должны выполняться только в случае, когда S≤r, r≤S, оба неравенства выполняются только в случае, когда S=r => что число векторов входящих в базис не зависит от выбора базиса.

Определение: Рангом системы векторов называется размерность линейной оболочки, натянутой на эти вектора.