Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

Теорема1: Если и - две бесконечно малые последовательности, то последовательность также является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство: Фиксируем некоторое положительное число > 0, т.к является бесконечно малой, то для заданной величины найдется номер N, такой что при всех n N, будет выполняться неравенство:

Аналогично для бесконечно малой последовательности найдется номер, такой что при всех n будет выполняться неравенство

Обозначим в качестве N = max { }, тогда для всех n N будут одновременно выполняться оба записанные неравенства.

Используя 2 свойство абсолютной величины, + < + <

Теорема 2: Разность двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы 1. Используя 3 свойство абсолютной величины: -

Следствие Т1, Т2.

Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей дает бесконечно малую последовательность.

Теорема 3: Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность дает бесконечно малую последовательность.

Доказательство: Последовательность является ограниченной => существует такое вещественное положительное число А, что все элементы

Фиксируем положительное число > 0. Т.к последовательность является бесконечно малой, то для фиксированного числа найдется номер N , такой что при всех n N будет выполняться неравенство

Таким образом получаем

Откуда следует справедливость теоремы.

Теорема 4:Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство: Рассмотрим последовательность

Если эта последовательность бесконечно малая, то для зафиксированного числа найдется номер N , такой что при всех n N будет выполняться неравенство

Другими словами все элементы бесконечно малой последовательности начиная с номера N лежат в -окрестности нуля. Вне этой -окрестности находится конечное число элементов.

Обозначим через А = max

Тогда для всех элементов будет справедливо неравенство

Следствие Т4

Произведение конечного числа всех бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема5:Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу c, с = 0.

Теорема6: Если последовательность бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого числа n определено частное двух последовательностей и , которое представляет собой бесконечно малую последовательность.

Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то частное последовательности представляет собой бесконечно большую последовательность.