Семестр 1(часть 1)

Линейная зависимость векторов .

Определение: Совокупность векторов называется линейно зависимой, если существует набор из k чисел хотя бы одно из которых отлично от нуля и линейная комбинация =0 (1)

равна нулю.

Система векторов называется линейно независимой , если соотношение (1) возможно только при нулевых коэффициентах .

Пример: -следовательно вектора

Пример: проверить являются ли эти вектора , линейно зависимыми?

Найдём решение системы уравнений.

Линейная комбинация =0,только при нулевых коэффициентах. Это говорит о том, что линейно не зависимы.

Теорема: Имеют место следующие утверждения:

Если в системе векторов имеется линейно зависимая подсистема, то вся система линейно зависима.
Если система векторов линейно независима, то всякая её подсистема, также линейно независима.
Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из векторов этой системы является линейной комбинацией остальных векторов.
Если в системе векторов хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных, то эта система векторов линейно зависима.
Если система векторов линейно независима, линейно зависима, то является линейной комбинацией векторов .
Если система векторов линейно независима и не является линейной комбинацией векторов ,то система линейно независима.

Доказательства:

Утверждение 1: Докажем первое утверждение. Дана . Предположим, для определённости, что подсистема линейно зависима. Это делает существуют числа не все равные 0. При котором линейная комбинация . Запишем набор чисел

Заметим, что выписанные числа образуют линейную комбинацию

Причём не все коэффициенты равны 0,следовательно, что система линейно зависима.

Утверждение 2: Непосредственно вытекает из утверждения 1.(рассуждения от противного.)

Утверждение 3: Пусть система векторов линейно зависима. Это означает, что существует набор чисел , хотя бы одно из которых не равно 0,и линейная комбинация векторов с этими числами обращаются в 0.

Пусть для определённости число ,тогда последнее соотношение можно представить в виде:

Получили, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов.

Утверждение 4: Пусть для определённости вектор является линейной комбинацией остальных векторов

Выбрав величин, равными , получим нетривиальную линейную комбинацию равную 0:

Таким образом, показали, что вектора линейно зависимы.

Утверждение 5: пусть система векторов - линейно независимая, а система векторов - линейно зависимая. Образуем линейную комбинацию векторов , и приравниваем её к нулю. , так как эта система векторов линейно зависима, то не все значения , заметим, что , так как если бы , то получили бы нетривиальную линейную комбинацию векторов , а это не возможно в силу линейной независимости векторов . Так как , то вектор можно представить в виде , то есть получим представление для вектора , в виде линейной комбинации векторов .

Утверждение 6: непосредственно вытекает из утверждения 5.

Содержание