Комплексные числа

Рассмотрим множество квадратных матриц вида:

,где x, y – некоторые вещественные числа. Покажем, что множество таких матриц замкнуто относительно алгебраических операций. Рассмотрим двух матриц.

Рассмотрим произведение матриц:

Множество матриц замкнуто относительно умножения.

Множество матриц замкнуто относительно сложения и вычитания.

3) найдём обратную матрицу.

Матрица такого же строения

Из курса школы известно, что уравнение не имеет решения.

Докажем, что на множестве рассматриваемой матрицы, уравнения такого типа разрешимо.

Найдём решение уравнения:

Отметим, что единичная и нулевая матрицы представимы в виде (3)

Откуда приходим к системе уравнений:

Каждая матрица вида (3) определяет упорядоченным набором двух действительных чисел x, y.

Определение: Упорядоченную пару действительных чисел x, y называют комплексным числом (x,y)

Матрицу вида (3) можно представить в виде

Со времен Эйлера и Гаусса матрицу принято обозначать символом I, в связи с чем комплексное число принято записывать x+Iy=x+iy.Каждая упорядоченная пара действительных чисел изображается точкой на плоскости.

Ось абсцисс – действительная ось и обозначается R_e (Real). Ось ординат – I_m (Image). Комплексные числа обозначают z = x + i*y, тогда

x = R_eZ ;

y = I_mZ;

Если множество действительных чисел изображается точками на числовой прямой, то множество комплексных чисел изображается точками на числовой плоскости.

Комплексное число можно трактовать как радиус-вектор, выходящий из начала координат.

Расстояние . Это расстояние называется |Z| (модуль комплексного числа Z). Угол между действительной осью и радиус-вектором, отсчитанный против часовой стрелки, называется аргументом комплексного числа.

Иногда аргумент пишут с большой буквы, подразумевая величину угла с учётом периода.

если точка в первой четверти

Наряду с арифметической записью z = x + i*y с помощью понятия модуля и аргумента комплексное число представляют в тригонометрическом виде.

Некоторые алгебраические операции проще выполняются с помощью тригонометрических чисел. Комплексное число , называется комплексным числом, сопряжённым числу z.

симметрична точке z относительно действительной оси.