Абсолютная величина u ее свойства

Абсолютной величиной а, называют:

Свойство 1: если w>0 то неравенство равносильно двум неравенствам

Доказательство. Пусть тогда раскрыв величину модулей получим

С другой стороны число , .

Пусть, а<0 то ,

С другой стороны, а<0 w>0

а<w

Докажем это утверждение в другую сторону. Пусть а удовлетворяет неравенству ,

=>

Из двух чисел и – будет положительным, будет совпадать с модулем.

С помощью первого свойства удобно задать окрестность т. , принадлежит окрестности , если выполняется неравенство

Используя первое свойство

; ;

Свойство 2: Модуль суммы сумме модулей

Для доказательства 2 свойства запишем очевидные неравенства

Складывая почленно выписанные неравенства

-

Согласно первому свойству, последние неравенство переписываем в виде

Свойство 3: Заменив во втором свойстве на -

Свойство 4

Для доказательства свойства 4 представим

Рассмотрим модули от левой и правой части

+

Согласно свойству 3

Заменив в свойстве 4 на - получим