Метод Крамера. Определитель второго и третьего порядков.

Рассмотрим определенную систему двух уравнений содержащую две переменные

(1)

Для определённости будем считать что коэффициент .Преобразуем систему (1),умножив второе уравнение системы на и вычтем из него первое уравнения на . В результате получается эквивалентная система вида.

Поскольку рассматриваем определённую систему, то коэффициент при во втором уравнении отличен от нуля и переменную можно представить в виде:

Подставим найденное значение в первое уравнение:

Представление (2) значений , выраженные через коэффициенты и свободные члены системы (1), принято называть нахождением решений системы(1) по методу Крамера. Числители и знаменатели соотношений(2) принято записывать в виде прямоугольной таблицы:

Такая комбинация четырёх чисел называется определителем второго порядка. Чтобы вычислить определитель второго порядка, нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, и отнять от полученных величины произведения элементов, стоящих на побочной диагонали. Знаменатель представления (2) также может быть записан в виде определителя второго порядка:

Решение системы можно представить в виде:

Получение решений по формулам (3) называется методом Крамера. Решение определенных систем линейных уравнений 2-го порядка. Проведя аналогичное рассмотрение для определенных систем 3-го порядка:

(4)

Получим представление решения системы в виде

(5)

Число, записанное в виде прямоугольной таблицы, состоящее из девяти чисел, называется определителем 3-го порядка.

Слагаемые в определителе третьего порядка со знаком «+» и «-» образуется из элементов определителя согласно схеме.

Получение решения по формулам (5) так же называется методом Крамера решения определенных систем уравнений третьего порядка. Определители второго и третьего порядка были определены, исходя из решения системы линейных уравнений. Очевидно, что такой подход не годится для определения определителя n-го порядка! Чтобы ввести понятие определителя n-го порядка, рассмотрим некоторые понятия комбиноторики.