§12. Умножение матриц.

Пусть

a= и b = –

строка и столбец, состоящие из одинакового количества элементов. Определим

a·b = a₁b¹+a₂b²+… +a_nbⁿ=(;\s\do10(i =1a_ibⁱ.

Пусть теперь A – матрица размера mk, а B – матрица размера kn, т.е. количество столбцов в матрице A равно количеству строк в сматрице B, или, что то же самое, длина сроки матрицы A равна высоте столбца в матрице B. Тогда мы можем умножать строки матрицы A на столбцы матрицы B. Пусть aⁱ=  i-ая строка матрицы A, а b_j = – j-ый столбец матрицы B. Обозначим

cj;i = aⁱ·b_j = a1;ibj;1 + a2;ibj;2 +… + bj;nan;i=(;\s\do10(k=1ak;ibj;k, i=1,…,m, j=1,…, n.

Числа образуют матрицу C размера mn, которая называется произведением матриц A и B:

C=AB = .

^{Пример.} A= , B = , X =

AX = = .

Таким образом, матричное равенство AX=B в развёрнутом виде представляет собой систему линейных уравнений

Свойства операции умножения матриц.

1. Умножение матриц не коммутативно. Если определено произведение AB, то произведение BA может быть не определено. Если определены оба произведения, то они могут иметь разный размер. Например, если A и B имеют размеры 23 и 32, то AB имеет размер 22, а BA имеет размер 33; получается, что эти матрицы вообще нельзя сравнивать.

Даже, если оба произведения AB и BA определены и имеют одинаковый размер, то может получиться ABBA. Например,

= , = .

2. Если A – квадратная матрица порядка n, а E – единичная матрица того же порядка, то AE=EA=A.

3. AO=O, OA=O (если определены соответствующие произведения).

4. Умножение матриц ассоциативно. Если определены произведения AB и (AB)С, то определены произведения BC и A(BС); при этом, (AB)С= A(BС).

5. Если имеет смысл A(B+С), то A(B+С)=AB+AС. Если имеет смысл (A+B)С, то A(B+С)=AС+BС.

6. (AB)= (A)B= A(B).

7. Если определено произведение AB, то определено B^TA^T и выполнено AB=B^TA^T.

Теорема 1.7. Ранг произведения матриц не превосходит рангов сомножителей: rankABrankA, rankABrankB.

Теорема 1.8. Если A и B – квадратные матрицы одного порядка, то detAB=detA·detB.