§4. Примеры решения задач.

^{Пример 1.}

В тех случаях, когда число уравнений и число неизвестных невелико, не стоит сначала выписывать расширенную матрицу системы, потом совершать над ней преобразования, а затем, снова выписывать по матрице систему. Проще совершать действия непосредственно над самой системой уравнений.

Переставим второе уравнение на первое место. Зададимся далее вопросом: на какое число надо это уравнение домножить, чтобы в результате сложения со вторым (по новому порядку) уравнением у нас сократилось x₁? Ответ очевиден: надо перед сложением первое уравнение домножить на 3. Точно также, определяем, что перед сложением с третьим уравнением надо первое домножить на 4. Мы совершаем указанные выше действия. При этом, первое уравнение само остаётся без изменений. Данные действия мы обозначаем стрелочками:

Если вы не обладаете достаточными вычислительными навыками, вы можете отдельно в стороне от общего решения совершить указанные выше действия по частям. А именно, сначала умножьте первое уравнение на 3, а затем уже сложите его со вторым уравнением; сначала умножьте первое уравнение на 4, а затем сложите его с третьим уравнением. При оформлении решения оставьте эти действия на черновике.

Далее мы видим, что второе уравнение можно разделить на 7. Но это удобнее сделать только после того, как мы к третьему уравнению прибавим второе. Данные действия тоже обозначаем.

:(7)

Далее мы рисуем фигурную скобку на три строчки и начинаем писать с последней строчки: x₃ = 0. Затем пишем на второй, выражая x₂, а в конце  на первой, выражая x₁.

^{Проверка:}

Ответ: (1, 2, 0).

^{Пример2. :2}

Последнее уравнение мы можем вычеркнуть. У нас число уравнений оказалось меньше числа неизвестных. Любую из неизвестных x₂ или x₃ мы можем перенести в правую часть и придать ей произвольное значение, например, 0 или 1 (как вам покажется более удобным). В нашей системе удобнее перенести x₃ в правую часть и придать ей значение x₃=0. Затем мы найдём соответствующие значения x₁ и x₂:

То, что мы нашли, называется частным решением системы. Но оно не является единственным: мы могли придать вместо x₃ любое другое значение и получить другой ответ. Общее решение системы ищется следующим образом. Мы придаём не числовое значение, а значение произвольного параметра, а потом находим соответствующие значения x₁ и x₂ (которые тоже будут зависеть от этого параметра):

Ответ: (810a, 3+7a, a), aR.

Пример 3. Найти общее решение однородной системы линейных уравнений и выписать фундаментальную систему решений.

Будем искать решение по методу Гаусса. Составим матрицу этой системы.

Напомним, что к элементарными преобразованиям строк матрицы относятся:

1) перестановка строк;

2) умножение строки на число, не равное нулю;

3) прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число;

4) вычёркивание строки, состоящей целиком из нулей.

Элементы, выделенные жирным шрифтом, образуют диагональ. Наша цель – с помощью элементарных преобразований строк матрицы занулить элементы, стоящие ниже диагонали; т.е. мы пытаемся привести матрицу к виду

_.

Если при этом у нас получается строка, состоящая полностью из нулей, мы её вычеркиваем (на практике, если получим две одинаковые или пропорциональные строки, то можно вычёркивать одну из них; если таких строк будет три – можем вычеркнуть две из них). При этом, может возникнуть и любая из двух следующих ситуаций.

Главное – добиться, чтобы мы могли выделить в оставшейся матрице треугольный минор, на диагонали которого все числа не равны нулю. Такой минор составляют обведенные столбцы. Этот минор называется базисным. В каждом из случаев, мы можем вместо второго столбца взять первый. Во втором случае мы можем вместо третьего столбца взять четвёртый.

Первым действием мы пытаемся получить нули в первом столбце ниже диагонали. Для этого сначала мы выбираем строку, которую мы поставим на первое место. В ней первый элемент желательно должен быть равен 1, но точно не ноль. Возможно, для этого потребуется разделить какую-либо строку на целое число. Мы поставим на первое место вторую строку. Затем мы к новой второй строке прибавляем первую, умноженную на –2, к третьей – первую, умноженную на 3, а к четвёртой – первую умноженную на 2. При этом, сама первая строка остаётся без изменений. Эти действия обозначаются следующим образом:



Вторым действием мы пытаемся получить нули во втором столбце ниже диагонали. Наши действия уже показаны выше. Возможно, в вашей индивидуальной задаче предварительно надо будет переставить строки, или какая-либо строка делится на целое число.

Мы разделили 3 строку на 2, а 4 строку – на 7. Получили две одинаковые строки. Одну из них можем вычеркнуть. Вторую строку умножим на 1.

Базисный минор обведён. Неизвестные, коэффициенты около которых входят в базисный минор, называются базисными, а все остальные  параметрическими. Мы вновь возвращаемся к системе линейных уравнений и составляем её по последней матрице. Базисные неизвестные, при этом, остаются в левой части, а параметрические неизвестные переносим в левую часть. После этого параметрическим неизвестным придаём значения произвольных параметров (можно сразу писать вторую из следующих систем).

Подставляем значение x₃ во второе уравнение и находим x₂; подставляем значение x₂ в первое уравнение и находим x₁:

X = (7₁ + 2₂, ₁  ₂, ₁ + 2₂, ₁, ₂), ₁, ₂R  общее решение системы.

Подставляя вместо ₁ и ₂ конкретные числа, мы будем получать частные решения. Подставляя в общее решение следующие частные значения параметров, получаем решения

₁ = 1, ₂ = 0, X₁ = (7, 1, 1, 1, 0),

₁ = 0, ₂ = 1, X₂ = (2,1, 2, 0, 1).

Тогда {X₁, X₂} – фундаментальная система решений (базис в пространстве решений). Произвольное частное решение системы можно представить в виде линейной комбинации решений, входящих в фундаментальную систему. Например, Y = 1·X₁  2X₂ = (3, 3,3, 1,2) – частное решение. Следующая запись называется разложением общего решения по базису:

X = ₁X₁ + ₂X₂; ₁, ₂R.

Обязательно следует сделать проверку, подставив решения X₁, X₂ в исходную систему:

Если проверка показывает, что хотя бы одно равенство не выполняется, то сдавать ваше решение не следует – следует искать ошибку.

Ответ:

X = (7₁ + 2₂, ₁  ₂, ₁ + 2₂, ₁, ₂), ₁, ₂R  общее решение системы;

X₁ = {7, 1, 1, 1, 0}, X₂ = {2,1, 2, 0, 1}; {X₁, X₂} – фундаментальная система решений;

X = ₁X₁ + ₂X₂; ₁, ₂R – разложение общего решения по базису.

^{Пример 4.}

32 2 2 2 3 2 2 2 2

3



64 3 5 7 0 0^1 1 3

64 5 3 1 0 0 1 ^–1 ^3

2x₂ + 2x₃ = 3x₁  2x₄  2x₅, 2x₂ + 2x₃ = 3a  2b  2c,

x₃ = x₄ + 3x₅, x₃ = b + 3c,

x₁ = a, x₄ = b,

x₅ = c; a, b, cR.

Отдельно находим

x₂ = (3a  2b  2c  2x₃) = (3a  2b  2c  2b  6c) = (3a  4b  8c).

X = (a; 1,5a  2b  4c; b + 3c; b; c), a, b, cR – общее решение.

a = 1, b = 0, c = 0, X₁ = (1; 1,5; 0; 0; 0),

a = 0, b = 1, c = 0, X₂ = (0; 2; 1; 1; 0),

a = 0, b = 0, c = 1, X₃ = (0; 4; 3; 0; 1),

{X_1, X₂, X₃}  фунд. сист. решений (базис в пространстве решений),

X = aX₁ + bX₂ + cX₃  разложение общего решения по базису.

Проверка: (нули мы не писали)

3·1 + 2·(1,5) = 0, 2·(2) + 2·1 + 2·1 = 0, 2·(4) + 2·3 + 2·1 = 0,

3·1 + 2·(1,5) = 0, 2·(2) + 3·1 + 1 = 0, 2·(4) + 3·3  1 = 0,

6·1 + 4·(1,5) = 0, 4·(2) + 3·1 + 5·1 = 0, 4·(4) + 3·3 + 7·1 = 0,

6·1 + 4·(1,5) = 0. 4·(2) + 5·1 + 3·1 = 0. 4·(4) + 5·3 + 1 = 0.