Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции

Определение. Линейной функцией или функционалом на векторном пространстве L называется отображение f:L ^– R, сопоставляющее каждому вектору xL число f(x), так что выполнены условия

1. f(x+y)=f(x)+f(x), 2. f(x)=f(x) x,yL R.

Другими словами, линейная функция – это линейный оператор, значения которого – действительные числа.

Пусть линейная функция f определена на пространстве Lⁿ, B = ={e₁, e₂,…, e_n} – базис в Lⁿ, а x=x¹e₁+x²e₂+…+ xⁿe_n – произвольный вектор. Тогда

f(x)=f(x¹e₁+x²e₂+…+ xⁿe_n)=x¹f(e₁)+x²f(e₂)+…+ xⁿf(e_n)= _(6.1)

=a₁x¹+a₂x²+…+ a_nxⁿ,

где a_i=f(e_i), i=1,…, n – постоянные, не зависящие от выбора вектора x. Числа a₁, a₂,…, a_n называются коэффициентами линейной функции в базисе B. Из коэффициентов можно составить строку A=(a₁ a₂ … a_n). Тогда

f(x)=AX, (6.1)

где X – координатный столбец вектора x в данном базисе.

Примеры. 1. p_i – функция, которая сопоставляет каждому вектору его i-ую координату в выбранном базисе: p_i(x)=xⁱ. Самостоятельно убедитесь, что она является линейной.

2. Пусть Eⁿ – евклидово пространство, a – произвольный вектор. Зафиксируем его. Тогда функция f(x)=a·x является линейной. Это, очевидно, вытекает из свойств скалярного произведения. Если в пространстве Eⁿ выбран ОНБ, и a(a¹, a²,…, aⁿ), то в соответствии с формулой для вычисления скалярного произведения

f(x)=a¹x¹+a²x²+…+ aⁿxⁿ.

Получается, что любую линейную функцию f:E^{n –} R можно представить в виде f(x)=a·x; для этого надо только выбрать вектор a, у которого координаты совпадают с коэффициентами функции f в ОНБ.

3. Пусть x(t) – произвольная функция из пространства C^o([0, 1]). Из свойств интеграла вытекает, что следующим равенством задаётся линейная функция f: C^o([0, 1]) ^– R:

f(x)=\s\do1(\a\vs18( 1;0x(t)dt.