§3. Преобразование координат

Пусть в векторном пространстве Lⁿ вместо базиса B ={e₁, e₂,…, e_n} выбран новый базис B  ={e₁^, e₂^,…, e_n^}. Пусть x(x¹, x²,…, xⁿ)_B – координаты произвольного вектора x в первом базисе (назовём их старыми координатами), x(x¹, x²,…, xⁿ)_{B } – координаты этого же вектора во втором базисе (новые координаты). Требуется найти связь между этими координатами.

Пусть нам известно разложение базисных векторов второго базиса по первому базису:

(3.7)

Составим из коэффициентов этого разложения матрицу, выписывая коэффициенты разложения из каждой строки в столбец с тем же номером:

С = .

Эта матрица называется матрицей перехода от первого базиса ко второму. Пишем B –(;\s\up8(С B . Имеем два разложения вектора x:

x = x¹e₁+ x²e₂ +…+ xⁿe_n . (3.4)

x = x¹e₁^+ x²e₂^ +…+ xⁿe_n^ . (3.8)

Подставим в (3.8) разложения (3.7):

x = x¹(с₁¹e₁ + с₁²e₂ +…+ с₁ⁿe_n) + x²(с₂¹e₁ + с₂²e₂ +…+ с₂ⁿe_n) +…+

+ xⁿ(с_n¹e₁ + с_n²e₂ +…+ с_nⁿe_n) .

Раскроем скобки с сгруппируем коэффициенты при одинаковых векторах:

x = (с₁¹x¹ + с₂¹x² +…+ с_n¹xⁿ₎e₁ + (с₁²x¹ + с₂²x² +…+ с_n²xⁿ₎e₂ +…+

+ (с₁ⁿx¹ + с₂ⁿx² +…+ с_nⁿxⁿ₎e_n .

Сравниваем теперь это разложение с разложением (3.4). В силу единственности разложения выполнено

(3.9)

Если обозначить

X = , X = . 

столбцы, составленные из координат вектора (координатные столбцы), то (3.9) можно переписать в матричном виде:

X = CX, (3.9)

Из автоматически получаем формулы прямой замены координат:

X = C^1X. (3.10)

В развёрнутом виде эти формулы выглядят также, как и (3.9), только штрихи у координат стоят в левой части формул, а вместо элементов матрицы C используются элементы матрицы C^1.

Если по условию задачи нам известны старые координаты вектора x, то (3.9) представляет собой СЛУ, где новые координаты (x¹, x²,…, xⁿ) являются неизвестными, а (x¹, x²,…, xⁿ) – это свободные члены. Равенство (3.10) – это решение этой СЛУ с помощью обратной матрицы.