§5. Свойства определителя.

1. Если одна строка или столбец определителя состоит только из нулей, то определитель равен нулю.

2. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак.

3. Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные строки (два одинаковых или пропорциональных столбца), то он равен нулю.

4. Общий множитель элементов одной строки (столбца) выносится за знак определителя.

5. Если одна строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то определитель матрицы равен сумме двух соответствующих определителей. Например,

= + .

6. Определитель матрицы не изменится, если к элементам одной строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), домноженные на некоторое число.

В матрице из примера 1 все элементы третьего столбца кратны трём. Поэтому мы можем вынести множитель 3 за знак определителя:

= 3·

Вычтем в нашем примере из второй и третьей строки первую строку (сама первая строка при этом остается на месте без изменений):

= .

Мы получили две пропорциональные строки, следовательно, определитель равен нулю.

7. Если строки или столбцы матрицы линейно зависимы, то её определитель равен нулю.

8. Определитель треугольной или диагональной матрицы равен произведению диагональных элементов. Например:

= 1· (–3) · 9 = – 27

9. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.