§2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.

Определение. Система линейных уравнений называется однородной, если правая часть состоит только из нулей:

(4.3)

Такая СЛУ всегда совместна: она имеет решение (0, 0,…, 0), которое называется тривиальным. Поэтому для однородной системы ставится вопрос: при каком условии она имеет нетривиальное решение?

Перепишем систему (4.3) в виде:

x¹ + x² + … + xⁿ= . (4.3)

Допустим, что система (4.3) имеет нетривиальное решение (¹, ²,…, ⁿ). Подставим это решение в (4.3) и получим верное равенство, которое означает, что столбцы матрицы A линейно зависимы:

¹ + ² + … + ⁿ= . (4.4)

Обратно. Пусть столбцы матрицы A линейно зависимы. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация столбцов матрицы A вида (4.4). Коэффициенты этой линейной комбинации и представляют решение системы (4.3).

Тем самым, мы доказали следующую теорему.

Теорема 4.2. Однородная СЛУ имеет решение тогда и только тогда, когда её ранг r меньше числа неизвестных n. В частности, если матрица A однородной СЛУ является квадратной, то система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда detA=0.

При элементарных преобразованиях строк нулевой столбец может превратиться только в нулевой столбец. Поэтому формулы (4.2) для системы (4.3) имеют вид

(4.2)

Теорема 4.3. Все решения однородной СЛУ образуют векторное пространство размерности nr.

Доказательство. Пусть (c¹, c ²,…, cⁿ), (d¹, d²,…, dⁿ) – два решения. Запишем их в виде столбцов:

C = , D = .

Тогда выполнено

AC=O, AD=O.

Отсюда следует, что

A(C+D)=AC+AD=O+O=O,

A(C)=(AC)= O=O.

Значит, столбцы C+D и C тоже задают решения. Тем самым,

(c¹+d¹, c²+d²,…, cⁿ+dⁿ), (c¹, c ²,…, cⁿ) –

тоже решения. Это значит, что все решения нашей системы образуют векторное пространство. Остаётся доказать утверждение про его размерность.

Придадим параметрическим неизвестным x^r+1,…, xⁿ поочерёдно следующие наборы значений:

1) x^r+1=1, x^r+2=0, x^r+3=0,…, xⁿ=0;

2) x^r+1=0, x^r+2=1, x^r+3=0,…, xⁿ=0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

nr) x^r+1=0, x^r+2=0,…, x^n1=0, xⁿ=1.

Для каждого из наборов по формулам (4.2) найдём значения базисных неизвестных и полученные решения запишем в виде столбцов:

X₁ = , X₂ = , … , X_nr = . (4.5)

Эти столбцы линейно независимы. Действительно, если из этих столбцов составить матрицу, то в последних nr её строках будет находиться минор в виде единичной матрицы. Значит, ранг всей матрицы равен nr и ранг системы столбцов этой матрицы тоже равен nr. Для завершения доказательства остаётся доказать, что произвольное решение является линейной комбинацией решений (4.5).

Пусть (c¹, c ²,…, cⁿ) – произвольное решение, C – соответствующий столбец. Рассмотрим столбец

X=c^r+1X₁+c^r+2X₂+…+cⁿX_nr. (4.6)

Он также задаёт решение и в последних егоnr строках стоят числа c^r+1, c^r+2,… , cⁿ – такие же как и в столбце C. Формулы (4.2) однозначно выражают значения базисных неизвестных через параметрические неизвестные. Поэтому столбцы X и C полностью совпадают. Таким образом, C=c^r+1X₁+c^r+2X₂+…+cⁿX_nr.

Определение. Фундаментальной системой решений для однородной СЛУ (4.3) называется любая её совокупность из nr линейно независимых решений. Другими словами, фундаментальной называется любая система решений, по которой, как по базису можно разложить любое решение.

Например, решения (4.5) образуют фундаментальную систему. Формула (4.6) представляет собой разложение общего решения по базису. Фундаментальная система решений для любой однородной СЛУ определяется неоднозначно.