§2. Группа преобразований плоскости Минковского.
В двумерном пространстве Минковского скалярное произведение векторов x;\s\up8(((x1, x2), y;\s\up8(((y1, y2) в некотором базисе {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( } вычисляется по формуле
x;\s\up8((·y;\s\up8(( = x1y1 + x2y2.
По этой формуле e1;\s\up8(( 2 = 1, а e2;\s\up8(( 2 = –1. Условие изотропности вектора x;\s\up8(((x1, x2) имеет вид:
(x1)2 (x2)2 = 0.
Пусть l1 и l2 – прямые, которые задаются уравнениями
l1: x1 – x2 = 0, l2: x1 + x2 = 0.
Тогда все изотропные векторы коллинеарны этим прямым; а если отложить изотропный вектор из начала координат, то он будет лежать на одной из этих прямых.
Прямые l1 и l2 образуют две пары вертикальных углов. В одной из этих пар будут лежать времениподобные векторы, если отложить их от начала координат, а в другой – пространственноподобные.
Ортогональность векторов понимается так же, как и в евклидовом пространстве: x;\s\up8((y;\s\up8(( x;\s\up8((·y;\s\up8((= 0.
Определение. Движением плоскости Минковского называется её преобразование, сохраняющее скалярное произведение векторов.
Очевидно, что параллельные переносы и симметрии относительно координатных осей будут движениями плоскости Минковского. Преобразование, действующее по формуле
(9)
x2= x1sh t + x2ch t, tR,
назовем гиперболическим поворотом. Пусть вектор y;\s\up8(((x1, x2) получен гиперболическим поворотом вектора x;\s\up8(((x1, x2). Тогда
y;\s\up8((2 = (x1ch t + x2sh t)2 – (x1sh t + x2ch t)2
= (x1)2(ch2t – sh2t) – (x2)2(ch2t – sh2t)=(x1)2 – (x2)2 = x;\s\up8((2.
Таким образом, гиперболический поворот сохраняет скалярный квадрат вектора. Скалярное произведение векторов можно выразить через скалярный квадрат:
x;\s\up8((·y;\s\up8((= ((x;\s\up8((+y;\s\up8(( )2 – x;\s\up8((2 – y;\s\up8((2).
Поэтому гиперболический поворот сохраняет скалярное произведение, т.е. является движением плоскости Минковского.
Примем без доказательства, что произвольное движение плоскости Минковского является композицией гиперболического поворота, параллельного переноса и, возможно, симметрии относительно одной из координатных осей.
Из (9) следует, что при гиперболическом повороте базисные векторы e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( переходят в векторы e1(;\s\up8(( (ch t, sh t)B , e2(;\s\up8(( (sh t, ch t)B . Если отложить e1(;\s\up8(( от начала координат и начать изменять t, то его конец опишет одну ветвь гиперболы. Аналогично, e2(;\s\up8(( опишет одну ветвь сопряженной гиперболы. Прямые l1 и l2 являются общими асимптотами этих гипербол.
Все движения плоскости Минковского образуют группу, которая называется группой преобразований Лоренца. Один из вариантов её обозначения: E(1, 1).
- Аналитическая геометрия и высшая алгебра
- Глава 1. Матрицы и определители §1. Матрицы. Основные определения.
- §2. Линейные операции над матрицами.
- §3. Линейная зависимость строк и столбцов.
- §4. Определитель матрицы.
- §5. Свойства определителя.
- §6. Приведение к диагональному виду.
- §7. Миноры произвольного порядка. Теорема Лапласа.
- §8. Перестановки.
- §9. Формула полного разложения определителя по элементам матрицы.
- §10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.
- §11. Ранг матрицы.
- §12. Умножение матриц.
- §13. Обратная матрица.
- §14. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- §15. Ортогональная матрица.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.
- §2. Тригонометрическая форма комплексного числа.
- §3. Многочлены.
- §4. Комплексные матрицы.
- Глава 3. Векторные пространства
- §1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов
- §2. Базис и координаты в векторном пространстве
- §3. Преобразование координат
- §4. Евклидово векторное пространство. Неравенство Коши-Буняковского
- §5. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Матрица Грамма.
- §6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.
- Глава 4. Системы линейных уравнений §1. Теорема Кронекера-Капелли. Нахождение решения.
- §2. Однородная система линейных уравнений. Фундаментальная система решений.
- §3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.
- §4. Примеры решения задач.
- Советы по поводу особых ситуаций.
- Задания для самостоятельного решения.
- Глава 5. Линейные операторы §1. Понятие линейного оператора. Его матрица, ранг и дефект.
- §2. Действия над линейными операторами.
- §3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.
- §4. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора
- §5. Линейные операторы в евклидовом пространстве
- Глава 6. Билинейные функции и квадратичные формы §1. Линейные функции
- §2. Билинейные функции
- §3. Приведение квадратичной формы к диагональному и каноническому виду
- §4. Одновременное приведение двух квадратичных форм к диагональному виду
- §5. Пространство Минковского m4.
- Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.
- §2. Группа преобразований плоскости Минковского.
- Используемые сокращения
- Алфавитный указатель Литература