§3. Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса.

Пусть в векторном пространстве Lⁿ выбраны два базиса: B = {e₁, e₂,…, e_n}, B = {e₁, e₂,…, e_n} и пусть C – матрица перехода.. Пусть A и A  матрицы оператора A:L^{n –} Lⁿ в первом и втором базисах. Нам нужно найти связь между этими матрицами.

Пусть xLⁿ  произвольный вектор, X и X – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Пусть y=Ax, Y и Y – его координатные столбцы в первом и втором базисах. Действие оператора относительно первого базисов задаётся формулами

Y=AX, Y=AX. (5.4)

Мы знаем, как преобразуются координаты векторов при замене базиса:

Y=CY, X=CX.

Подставляем эти равенства в первое из равенств (5.4):

CY=A(CX)  Y=(C^1AC)X.

Сравниваем это равенство со вторым из равенств (5.4). Мы видим, что

A=C^1AC (5.5)

Это и есть закон преобразования матрицы линейного оператора, при переходе к новому базису.