§6. Векторные подпространства. Ортогональное дополнение.

Определение. Пусть L – векторное пространство. Подмножество LL называется векторным подпространством в L, если оно само по себе является векторным пространством.

Для того, чтобы убедиться, что подмножество LL является векторным подпространством достаточно проверить лишь замкнутость L относительно линейных операций:

1. x, yL  x+yL;

2. xL, R  xL.

АксиомыА1–А8 будут выполняться автоматически потому, что они выполняются в L.

Примеры. 1. Все векторы, параллельные плоскости Oxy образуют подпространство V² в V³ (напомним, что V³ состоит из всех векторов геометрического пространства).

2. Напомним, что пространство P₂ состоит из всех многочленов степени не превосходящей 2: P₂= {a_o+ a₁t + a₂t²| a_o, a₁, a₂R}. Тогда P₁= ={a_o+ a₁t| a_o, a₁R} является подпространством в P₂.

3. Все функции вида a_o+ a₁sint+a₂cos t образуют подпространство T в пространстве С^o(R) функций, непрерывных на всей числовой прямой.

Определение. Пусть {x₁, x₂,…, x_n} – некоторая система векторов в векторном пространстве L. Рассмотрим совокупность всех векторов, которые являются линейными комбинациями векторов x₁, x₂,…, x_n:

{₁x₁+₂x₂+…+_nx_n| ₁, ₂,…, _nR}

Это множество называется линейной оболочкой системы векторов {x₁, x₂,…, x_n} и обозначается x₁, x₂,…, x_n или spann{x₁, x₂,…, x_n}.

Примеры. 1. V²=i, j. Но также V²=i+j, ij или V²=i, j, i+j, i2j.

2. P₁= 1, t. Но также P₁= 1, t, 2+t.

3. T=1, sint, cos t.

Предложение. Размерность линейной оболочки системы векторов не превосходит числа этих векторов (без доказательства).

Определение. Пусть Eⁿ – евклидово пространство, xEⁿ – произвольный ненулевой вектор. Ортогональным дополнением к вектору x называется совокупность всех векторов, ортогональных к x:

x^={yEⁿ| x·y=0}.

Определение. Пусть E^k – подпространство в Eⁿ. Говорим, что вектор xEⁿ ортогонален E^k (пишем xE^k), если он ортогонален каждому вектору из E^k. Ортогональным дополнением к E^k называется совокупность всех векторов, ортогональных E^k:

(E^k)^={yEⁿ| x·y=0 xE^k}.

Предложение. (E^k)^ является векторным подпространством в Eⁿ размерности nk. В частности, x^ является векторным подпространством в Eⁿ размерности n1.

Доказательство. Докажем только второе утверждение. Пусть y,zx^, R. Тогда

x·(y+z)=x·y+x·z=0+0=0, x·(y)=(x·y)+x·z=·0=0.

Значит, y+zx^ и yx^. Это означает, что x^ является векторным подпространством в Eⁿ. Выберем теперь ОНБ {e₁, e₂,…, e_n} так, чтобы e₁||x (e₁=x/|x|). Тогда {e₂,…, e_n}x^.

Пусть y=y¹e₁+y²e₂+…+yⁿe_n – произвольный вектор из x^. Тогда e₁·y=(x/|x|)·y=0. С другой стороны,

e₁·y=e₁·(y¹e₁+y²e₂+…+yⁿe_n)=y¹(e₁·e₁)+y²(e₁·e₂)+…+yⁿ(e₁·e_n)=y¹.

Таким образомy=y²e₂+…+yⁿe_n. Мы показали, что любой вектор yx^ является линейной комбинацией векторов {e₂,…, e_n}. Значит, dim x^=n1.

Определение. Пусть L и L – два подпространства векторного пространства L. Говорим, что L раскладывается в прямую сумму L и L, если любой вектор xL можно представить единственным образом в виде суммы x=u+v, где uL, vL.

Единственность разложения x=u+v, uL, vL равносильна тому, что пересечение LL состоит только из нулевого вектора (без доказательства).

Теорема3.3. Любое евклидово пространство можно представить в виде прямой суммы любого подпространства и его ортогонального дополнения: Eⁿ=E^k(E^k)^ (без доказательства).

Примеры. 1. Пусть V² состоит из всех векторов, параллельных плоскости Oxy. Тогда (V²)^ состоит из всех векторов коллинеарных оси Oz, и любой вектор xV³ можно единственным образом представить в виде суммы x=u+v, где uV², v(V²)^. Значит, V³=V²(V²)^.

2. Пусть в R³ введено скалярное произведение, как в примере 2 параграфа 5. Пусть подпространство R² состоит из столбцов вида . Тогда (R²)^ состоит из столбцов вида . Произвольный столбец XR³ можно единственным образом представить в виде суммы:

= + .

Значит, R³=R²(R²)^.