Глава 2. Комплексные числа и многочлены §1. Комплексные числа. Операции над ними.

Комплексные числа впервые возникли в связи с необходимостью иметь решение для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Впоследствии они нашли широкое применение во всех разделах математики и физики.

Определение. Обозначим i=. Число i называется мнимой единицей. Таким образом, выполнено i²=1.

Определение. Комплексным числом называется формальное алгебраическое выражение вида z=a+bi, где a, bR. Число a называется действительной частью, выражение bi – мнимой частью. Обозначаем a=Rez, bi=Imz. Совокупность всех комплексных чисел обозначаем C.

Пусть z₁=a₁+b₁i, z₂=a₂+b₂i. Тогда сумма, разность и произведение этих чисел определяется так:

z₁+z₂=(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i, z₁z₂=(a₁a₂)+(b₁b₂)i,

z₁·z₂=(a₁+b₁i)·(a₂+b₂i)=a₁a₂+a₁b₂i+a₂b₁i+b₁b₂i²=

=(a₁a₂b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i.

Определение. Число z;¯ =abi называется сопряжённым (комплексно сопряжённым) к числу z=a+bi.

Заметим, что (z+z;¯)=a=Rez, (zz;¯)= bi=Imz. Теперь умножим:

z·z;¯ =(a+bi)·(abi)=a²(bi)²=a²+b²

Получилось действительное число. Теперь можем определить деление.

= = = =

= + i.

Таким образом, для того, чтобы совершить деление, мы числитель и знаменатель дроби домножаем на число сопряжённое к знаменателю. Тогда в знаменателе получится действительное число.

Комплексные числа принято изображать точками на плоскости, где задана декартова система координат. Число z=a+bi изображается точкой с координатами (a, b). Тогда z;¯ изображается точкой с координатами (a,b), симметричной относительно Ox (чертёж см. в следующем параграфе). Будем говорить, что z – это и есть точка с координатами (a, b).