§3. Многочлены.

Определение. Многочленом степени n называется формальное алгебраическое выражение вида

p(x)=a_nxⁿ+a_n1x^n1 + … + a₁x+a_o, (2.1)

где a_n0. Выражение a_nxⁿ называется старшим членом, a_o – свободным членом. Коэффициенты a_n, a_n1, … , a_o могут быть комплексными.

Определение. Говорим, что многочлен h(x) является частным от деления многочлена p(x) на многочлен q(x), а r(x) является остатком, если выполнено равенство

p(x)=q(x)h(x)+r(x), (2.2)

и при этом степень остатка r(x) меньше делителя q(x). Если остаток равен нулю, то говорим, что p(x) делится на q(x) (или делится без остатка). Тогда пишем: p(x)q(x).

Пример. Разделить с остатком многочлен x³2x²12x7 на x²+3x+2.

x³2x²12x7 x²+3x+2

 x³+3x²+2x x5

5x²14x7

 5x²15x10

x+3

Значит, x5  это частное, а x+3  остаток.

Определение. Число c называется корнем многочлена p(x), если p(c)=0.

Теорема. Остаток от деления многочлена p(x) на xc равен значению p(c).

Доказательство. Остаток от деления на многочлен 1 степени может быть только числом. Пусть

p(x)=(xc)h(x)+r.

Подставим сюдаx=c. Получим p(c)=r.

Следствие. Число c является корнем многочлена p(x) тогда и только тогда, когда p(x)(xc).

Определение. Если p(x) делится на (xc)^k, но не делится на (xc)^k+1, то число c называется корнем многочлена p(x) кратности k. Тогда можем записать, что p(x)=(xc)^k h(x). Если k=1, то корень c называется простым.

Определение. Определим производную от многочлена (2.1) по формуле

p(x)=na_nx^n1 + (n1)a_n1x^n2 + … + 2a₂x+a₁.

Теорема 2.1. Если c является корнем многочлена p(x) кратности k, то c является корнем многочлена p(x) кратности k1.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Всякий многочлен с действительными или комплексными коэффициентами (степень которого больше нуля) имеет хотя бы один корень во множестве С.

Следствие. Всякий многочлен p(x) степени n с действительными или комплексными коэффициентами имеет в точности n корней во множестве С (если каждый корень считать столько раз, какова его кратность).

Доказательство следствия. Пусть c₁  корень многочлена p(x). Разделим p(x) на xc₁:

p(x)=(xc₁) h(x).

Тогда h(x) имеет степень n1. Пусть n10 и c₂  корень многочлена h(x). Тогда

h(x)=(xc₂) g(x)  p(x)=(xc₁)(xc₂) g(x).

Тогда g(x) имеет степень n2. Пусть n20 и c₃  корень многочлена g(x). Тогда

g(x)=(xc₃) f(x).  p(x)=(xc₁)(xc₂)(xc₃) f(x).

И т.д. В конечном итоге получим

p(x)=(xc₁) (xc₂) … (xc_n)a_n. (2.3)

Примем без доказательства, что разложение (2.3) единственно. Если многочлен имеет кратные корни, то среди множителей в (2.3) есть одинаковые. Множитель xc_i встречается столько раз, какова кратность корня c_i. Обозначим эту кратность k_i. Если объединить одинаковые множители, то получим разложение

p(x)=a_n(xc₁)^k1(xc₂)^k2 … (xc_l)^kl.

Например, многочлен 2x³5x²4x+12 имеет корни 2 и 1,5; причём кратность корня 2 равна 2. Поэтому имеет место разложение

2x³5x²4x+12=2(x2)²(x+1,5).

Теорема 2.2. Пусть p(x)  многочлен с действительными коэффициентами и c – его комплексный корень. Тогда c тоже является корнем.

Например, многочлен x²2x+6 имеет корни 1+i и 1i.

Из теоремы следует, что если в разложении многочлена присутствует множитель xc, то там присутствует и множитель xс;¯. Перемножим их:

(xc)(xс;¯)=x²(c+с;¯)x+cс;¯= x²2ax+(a²+b²).

Получился многочлен с действительными коэффициентами. Отсюда вытекает следующая теорема.

Теорема 2.3. Любой многочлен с действительными коэффициентами разлагается в произведение

a_n(xc₁)^k1(xc₂)^k2 … (xc_l)^kl q₁q₂ … q_m

где c₁, c₂,…, c_l  действительные корни, k₁, k₂,…, k_l  их кратности, а q₁, q₂,…, q_m – квадратные трёхчлены с отрицательным дискриминантом.