Глава 7. Элементы теории групп §1. Понятие группы. Примеры.

Определение. Пусть G  произвольное множество, на котором задана операция «·», которая двум элементам a, bG сопоставляет третий элемент a·bG так, что выполнены следующие аксиомы: a, b, cG

1. (a·b)· c = a ·(b·c) – ассоциативность умножения;

2. e G такой, что e·a=a·e=a – существование единичного элемента;

3.  a^–1 G такой что a·a^–1=e – существование обратного элемента.

Тогда множество вместе с данной операцией называется группой и обозначается G, ·. Если дополнительно выполняется a, bG a·b=b·a, то группа называется коммутативной.

Примеры. 1. Z, +, Q, +, R, + , C, +  целые числа по сложению, рациональные числа по сложению, действительные числа по сложению, комплексные числа по сложению. Роль единичного элемента везде играет число ноль. Роль обратного элемента – противоположное число.

2. Q\{0}, ·, R\{0}, ·, C\{0}, ·  рациональные числа без нуля по умножению, действительные числа без нуля по умножению, комплексные числа без нуля по умножению. Роль единичного элемента везде играет число 1. Роль обратного элемента – число 1/a. А вот, целые числа без нуля по умножению группу не образуют: множество Z не содержит обратных чисел ко всем числам, кроме 1 и 1.

3. R_mⁿ , +  совокупность всех матриц размера mn по сложению.

4. GL(n, R) – общая линейная группа, состоящая из всех квадратных матриц порядка n с определителем не равным нулю, по умножению. Роль единичного элемента играет единичная матрица, роль обратного элемента – обратная матрица.

5. SL(n, R) – специальная линейная группа, состоящая из всех квадратных матриц порядка n с определителем равным 1, по умножению.

6. O(n) – ортогональная группа, состоящая из всех ортогональных матриц порядка n, по умножению.

7. E(2)  группа всех движений плоскости относительно операции композиции (т.е. последовательного выполнения) преобразований.

Определение. Пусть G, · – группа, а HG – некоторое подмножество. Тогда H называется подгруппой группы G, если относительно операции «· » сама H является группой.

Для того чтобы проверить, что подмножество HG является подгруппой достаточно проверить, что оно замкнуто относительно групповой операции: a, bH  a·bH.

Например, Z, + и Q, + – это подгруппы в R, +; SL(n, R) и O(n) – это подгруппы в GL(n, R).