§13. Обратная матрица.

Определение. Матрица X называется обратной к матрице A, если

AX=XA=E (1.14)

В этом случае пишем X=A^1.

Из определения сразу же следует, что обе матрицы и должны быть квадратными одного порядка n. По теореме 6

detA·detX=detE=1.

Значит, обязательно detA0. Это есть необходимое условие существования матрицы, обратной к матрице A. Оказывается, это условие является так же и достаточным.

Теорема 1.9. Если detA0, то для матрицы A существует, и притом единственная, обратная к ней матрица X.

Доказательство. Пусть порядок матрицы A равен n. Выберем произвольный номер j от 1 до n. Пусть e_j – j-ый столбец матрицы E. Равенство AX=E говорит нам о том, что e_j должен получаться в результате умножения матрицы A на x_j – j-ый столбец матрицы X:

= .

Здесь единица в столбце e_j находится в j-ой строке. Если перемножить матрицы, получим СЛУ

(1.15)

Матрица этой системы – это матрица A. Согласно правилу Крамера эта система имеет единственное решение. Значит, все числа из столбца x_j однозначно определены. Поскольку мы выбирали произвольный номер столбца, то и все столбцы матрицы X однозначно определены. Значит, однозначно определена и матрица X, удовлетворяющая условию AX=E.

Докажем, что для этой же матрицы будет выполняться и XA=E. Поскольку detA0, то существует, и притом единственная, матрица Y такая, что

XY=E. (1.16)

Домножим обе части последнего равенства слева на матрицу A:

AXY=AE.

Мы уже знаем, чтоAX=E, поэтому получаем EY=A  Y=A. Подставим это равенство в (1.16) и получим XA=E.

Следующая теорема даёт нам готовую формулу для нахождения обратной матрицы.

Теорема 1.10. Для невырожденной квадратной матрицы А

А^1= .

Таким образом, для того, чтобы составить А^1, мы на место каждого элемента матрицы А ставим его алгебраическое дополнение, получившуюся матрицу транспонируем (т.е. превращаем строки в столбцы), и затем умножаем на (det А)^1.

Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательное утверждение.

Лемма. Сумма произведений элементов одной строки (одного столбца) матрицы на алгебраические дополнения другой строки (другого столбца) равна нулю.

Доказательство. Пусть i, j – произвольные номера от 1 до n. Заменим в матрице A i-ую строку на j-ую (а сама j-ая строка останется на месте). Новую матрицу обозначим A. В ней есть две одинаковые строки  detA=0. Раскроем detA по i-ой строке и получим равенство:

a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i=0,

потому, что элементы i-ой строки в A на самом деле совпадают с элементами j-ой строки в матрице A. Утверждение для столбцов доказывается аналогично.

Доказательство теоремы 1.10. Обозначим Y – матрица, составленная из алгебраических дополнений и транспонированная. Обозначим [AY]j; i – элемент матрицы AY, находящийся в i-ой строке и j-ом столбце. Он получается в результате умножения i-ой строки матрицы A на j-ый столбец матрицы Y, который состоит из алгебраических дополнений j-ой строки матрицы A. Т.е.

[AY]j; i= a1; jM; ¯1; i+ a2; jM; ¯2; i+…+an; jM; ¯n; i.

Согласно лемме это выражение равно нулю, если ij. Если i=j, то это выражение совпадает с правой частью формулы (3), т.е. оно равно detA. Таким образом, в матрице A на главной диагонали стоят числа равные detA, а вне диагонали стоят нули. Это значит, матрица

(AY) = A

является единичной.