§3. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

Пусть (4.1) – произвольная неоднородная СЛУ, а (4.3) – однородная СЛУ с теми же коэффициентами (а значит, и с той же матрицей A). Будем называть (4.3) приведённой по отношению к (4.1). Если столбец составлен из решений какой-либо СЛУ, то будем говорить, что сам этот столбец, и есть решение.

Пусть C и D – решения системы (4.1). Тогда выполняется

AC=B, AD=B.

Обозначим Y=D–C. Тогда

AY=AD–AC=B–B=O.

Значит, столбец Y является решением приведённой СЛУ (4.3). Обратно, пусть C – произвольное решение неоднородной СЛУ (4.1), а Y– произвольное решение приведённой СЛУ (4.3). Тогда D=C+Y тоже будет решением неоднородной СЛУ (4.1):

AD=AC+AY=O+B=B.

Тем самым мы доказали следующую теорему.

Теорема 4.4. Пусть (c¹, c ²,…, cⁿ) – произвольное решение неоднородной системы (4.1). Тогда (d¹, d²,…, dⁿ) также будет решением системы (4.1) тогда и только тогда, когда существует решение (y¹, y ²,…, yⁿ) приведённой системы (4.3) такое что d¹=c¹+y¹, d²=c²+y²,…, dⁿ=cⁿ+yⁿ.

Из теорем 2 и 3 вытекает

Теорема 4.4. Пусть C – произвольное частное решение неоднородной системы (4.1), а X₁, X₂,…, X_nr – фундаментальная система решений приведённой системы (4.3). Тогда

D=C+₁X₁+₂X₂+…+_nrX_nr (4.7)

будет решением неоднородной системы (4.1) при любых значениях ₁, ₂,…,_nr.

Формула (4.6) представляет собой общее решение неоднородной системы (4.1), только необходимо добавить ₁, ₂,…,_nrR.