§10. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

Определение. Система из m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) имеет вид:

(1.11)

Числа a_ij называются коэффициентами системы, а числа b¹, b²,…, b^m – свободными членами. Коэффициенты системы образуют матрицу A, а свободные члены – столбец B:

A= , B =

Символы x¹, x²,…, xⁿ называются неизвестными. Матрица

A^*=

Называется расширенной матрицей СЛУ (8).

Определение. Решением системы линейных уравнений (1.11) (частным решением) называется любой набор чисел (¹, ²,…, ⁿ), при подстановке которых вместо неизвестных x¹, x²,…, xⁿ все уравнения системы превращаются в верные равенства. Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений.

Например, следующая система несовместна:

СЛУ может иметь более, чем одно решение. Тогда она имеет бесконечное количество решений. Например, все решения системы

можно записать в виде (12, ),R (т.е.  выступает здесь в качестве параметра: вместо  мы можем подставить любое число, и получится частное решение). Такая запись называется общим решением системы.

Пусть теперь число уравнений в СЛУ равно числу неизвестных: m=n. Тогда матрица A является квадратной. Обозначим =detA, а _i – определитель матрицы, которая получается из A заменой i-го столбца на столбец свободных членов B. Например,

₁= .

Теорема 1.3. (Правило Крамера). Если 0, то СЛУ (1.11) (при m=n) имеет, и притом единственное решение. Это решение можно найти по формулам

x¹ = , x² = , …, xⁿ = .

Обратите внимание, что данная теорема состоит из двух утверждений. Первое предложение о существовании и единственности решения имеет самостоятельное большое значение.

Пример 3. Найти решение системы уравнений

Решение.

== –2, ₁= = 6, ₂= = – 4.

x₁ = = = –3, x₂ = = = 2.

Ответ: (–3, 2).